Осредненная нелинейная математическая модель гемодинамики на графе сосудов

• Автор: Буничева, Анна Яковлевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 126 с. : ил

Оглавление
Введение

Глава 1. Математическая модель гемодинамики

1. Приближения.

2. Уравнения гемодинамики в отдельном сосуде.

2.1 Уравнения гемодинамики

2.2 Свойства уравнений гемодинамики

2.3 Постановка граничных условий

2.4 Линейное приближение

2.5 Стационарное течение

3. Уравнения гемодинамики на г рафе сосудов

3.1 Описание сердечнососудистой системы с помощью графа.
Общая структура графа
3.2 Ребра
3.3 Вершины ветвления сосудов
3.4 Вершины, моделирующие капиллярные ткани
3.5 Вершины, моделирующие сердце
3.6 Вершины, моделирующие почку
3.7 Ребра, моделирующие резистивные сосуды
3.8 Ребра, моделирующие емкостные вены
Глава 2. Осредненнан нелинейная модель гемодинамики на графе.
Разностная схема и методы ее решения.
1. Построение осрсдненной нелинейной модели.
1.1 Профили скорости и давления
1.2 Интегральные соотношения
1.3 Осреднснная нелинейная модель на одном сосуде
1.4 Постановка корректных граничных условий
1.5 Обобщение на граф полной системы кровообращения
2. Разностная схема для решения нелинейной осредненной модели
2.1 Разностная схема на одном сосуде
2.2 Линеаризация разностной схемы на одном сосуде
2.3 Исследование устойчивости разностной схемы
2.4 Исследование порядка аппроксимации
2.5 Обобщение разностной схемы для одного сосуда на граф сосудов
3. Итерационный алгоритм
3.1 Описание итерационного процесса на одном сосуде
3.2 Обобщение на граф сердечнососудистой системы
4. Тестирование разностной схемы и итерационного метода на модельной задаче
4.1 Масштабирование переменных
4.2 Численные данные для модельного сосуда
4.3 Свойства итерационного алгоритма
4.4 Исследование влияния весового множителя разностной схемы
4.5 Исследование зависимости решения от шага по времени
5. Сглаживание решения с помощью регуляризаторов.
6. Исследование реальной точности расчетов.
6.1 Сравнение с другой моделью гемодинамики
6.2 Сравнение с точным решением линеаризованной задачи гемодинамики
6.3 Сравнение с точным решением в случае стационарного течения
6.4 Исследование минимального числа разбиений сосуда Глава 3. Численное исследование гемодинамики большого круга кровообращения. Моделирование фильтрационной функции почки
1. Граф большого круга кровообращения.
2. Задание начальных данных.
2.1 Задание начальных данных на ребрах графа
2.2 Задание начальных данных в вершинах графа
3. Основные свойства течения крови в большом круге кровообращения
3.1 Обзор общих закономерностей течения
3.2 Влияние длительности систолы на артериальное давление
3.3 Влияние величины коэффициента вязкости крови
4. Исследование влияния группы резистивных сосудов на величину артериального давления
4.1 Влияние периферического сопротивления на величину артериального давления
4.2 Моделирование физической нагрузки
5. Почечная система контроля артериального давления
6. Реакция модельной почки на изменение артериального давления
6.1 Моделирование мгновенного увеличения почечного давления
6.2 Моделирование мгновенного уменьшения почечного давления
6.3 Повышение давления за счет увеличения периферического сопротивления
7. Моделирование изменения объема системы. Влияние повышенного
поступления жидкости
Приложение. Атлас данных по сосудам
1. Данные, взятые из медицинских источников.
2. Ьаза начальных данных и параметров сосудов, используемая в
расчетах
Литература


Далее в этом параграфе рассматриваются модельные случаи, такие как линейное приближение, стационарное нелинейное течение. Для линейного приближения системы уравнений гемодинамики на одном сосуде для граничных условий определенного вида указано точное решение. Для стационарного нелинейного течения с учетом силы трения в сосуде можно получить аналитическое решение, а также оценки изменения давления под действием силы трения с различными порядками точности. В третьем параграфе рассматриваются особенности применения модели на граф сердечнососудистой системы. При математическом моделировании сердечнососудистой системе формально сопоставляется некоторый граф, состоящий из ребер и вершин. В параграфе обсуждаются основные типы ребер и вершин. Указываются уравнения, применяемые для стыковки отдельных сосудов в вершинах различных типов. В параграфе отмечены основные подходы к моделированию работы сердца и фильтрационной функции почки. Указывается на необходимость использования модельных сосудов для описания участков микроциркуляторного русла, например сети артериол или емкостных вен и венул. Вторая глава диссертации, состоящая из шести параграфов, посвящена построению и выяснению свойств осредненной нелинейной модели гемодинамики, построению эффективного численного алгоритма решения задачи на графе сосудов, сравнению численного решения с точными решениями модельных задач. В первом параграфе с помощью метода интегральных соотношений в предположении линейности профилей скорости и давления на сосуде исходная система уравнений гемодинамики в частных производных сведена к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. В
этом параграфе исследуется вопрос о корректных граничных условиях на одном сосуде для системы уравнений осредненной нелинейной модели. Показано, что постановка граничных условий для осредненной нелинейной модели согласуется с постановкой граничных условий для базовой модели гемодинамики. Во втором параграфе рассматривается семейство разностных схем с весовым множителем су для решения нелинейной осредненной модели. Исследуются свойства предложенной разностной схемы. Анализ устойчивости соответствующей линеаризованной разностной схемы показал, что схема устойчива при значении весового множителя сг 0. При значении весового множителя сг 0. При других значениях схемного множителя схема имеет первый порядок по времени и второй по пространственной переменной. Далее в параграфе указываются уравнения, используемые для согласования отдельных ребер на графе и получения полной системы уравнений гемодинамики для моделирования всей сердечнососудистой системы. В третьем параграфе дано описание итерационного алгоритма для решения разностной схемы на одном сосуде. Использование предложенного в парафафе итерационного алгоритма сводит систему к системе линейных уравнений. Четвертый параграф посвящен численному исследованию свойств разностной схемы и итерационного алгоритма на примере модельного сосуда. В частности указывается число итераций, затрачиваемых для обеспечения заданной точности итерирования при различных порядках аппроксимации. Результаты численных расчетов показали, что метод характеризуется слабой зависимостью решения от точности итерирования, а качественный вид решения формируется уже при невысокой точности итерирования. Также рассматривается влияние весового множителя разностной схемы на качественный вид решения. Численные расчеты показали, что увеличение весового множителя разностной схемы ведет к дополнительному сглаживанию решения. В этом параграфе также рассматривается зависимость решения от шага по времени. Результаты расчетов сравниваются с расчетом, проведенным с шагом Куранта. В пятом параграфе обсуждается механизм дополнительного сг лаживания и подавления нефизических осцилляций решения с помощью введения регуляризаторов. В шестом параграфе проводится исследование точности расчетов. Численное решение, полученное с помощью осредненной нелинейной модели гемодинамики, сравнивается с точным решением линеаризованной задачи, с точным решением нелинейной стационарной залачи.