Разработка методов и комплекса программ безошибочных вычислений для решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений

• Автор: Кинцель, Дмитрий Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 107 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.

1. АНАЛИЗОШИБОК

I. 1. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ И АБСОЛЮТНЫЕ ОШИБКИ1О

1.2. ОШИБКИ СОДЕРЖАЩИЕСЯ В ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ

1.3. ОШИБКИ ОГРАНИЧЕНИЯ

1.4. ОШИБКИ ОКРУГЛЕНИЯ.

1.5. УСТОЙЧИВОСТЬ И ОБУСЛОВЛЕННОСТЬ СИСТЕМ НОРМАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. ЧИСЛО ОБУСЛОВЛЕННОСТИ

2. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

2.1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФОРМУЛ КРАМЕРА

2.2. ПРЯМОЕ ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦЫ

2.3. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ИСКЛЮЧЕНИЯ ГАУССА
2.4. МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯХОЛЕЦКОГО.
2.5. МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СИНГУЛЯРНЫМ ЧИСЛАМ
2.6. ОЦЕНИВАНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ С ПОМОЩЬЮ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА.
3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НАХОЖДЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ РЕГРЕССИИ
3.1. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДА ЧИ
3.2. ОДНОМОДУЛЬНАЯ СИСТЕМА ВЫЧЕТОВ.
3.3. РАСШИРЕННЫЙ АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА
3.4. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДА ЧИ И СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
5. ЛИТЕРАТУРА.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ПРИЛОЖЕНИЕ 3.
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность


Любая цифровая ЭВМ является конечной машиной, так как она способна представлять конечное множество чисел. Поэтому в общем случае множество вещественных чисел /? Точность представления таких чисел на ЭВМ зависит от размера разрядной сетки, используемой для вычислений. По этой причине при решении практически любой реальной задачи на ЭВМ возникают ошибки округления. При решении плохо обусловленных задач такие ошибки могут приводить к катастрофическому искажению результата решения []. Чтобы избежать ошибок связанных с машинным округлением в работе предлагается использовать системы, которые свободны от ошибок округления []. Примером таких систем являются одномодульные системы вычетов. Общая идея состоит в том, что рациональные числа с помощью метода, основанного на расширенном алгоритме Евклида, переводятся во множество целых чисел 1т (прямое отображение). Все действия производятся во множестве целых чисел, а результаты приводятся по модулю т. Конечные результаты с помощью обратного отображения переводятся из множества целых чисел во множество рациональных. Вычисления, основанные на таких системах, называются «безошибочными», или их эквивалентом - «точные вычисления» (exact computation) []. По причине того, что поле рациональных чисел бесконечно, а количество целых чисел, представимых в компьютере является конечным, возникает проблема однозначного обратного отображения полученного решения в поле рациональных чисел. Для определенного ряда задач, имеющих целочисленное решение, проблемы обратного отображения, не возникает. Но для задач, решение которых надо искать в поле рациональных чисел такая проблема существует. Для установления однозначного соответствия необходимо иметь дополнительную информацию о искомом решении []. В данной работе предлагается комбинированный алгоритм нахождения решения в поле рациональных чисел, основанный на одномодульной системе вычетов. Этот алгоритм основан на итерационном методе исключения и включает в себя как методы безошибочного вычисления, так и обычную арифметику ЭВМ. Обычная конечно-разрядная арифметика используется для определения области решения, а безошибочные вычисления для точного нахождения оценки в этой области. Целью исследования является разработка методов, позволяющие использовать безошибочные вычисления для нахождения решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений, решение которых лежит в поле рациональных чисел, а также разработка комплекса программ по моделированию, генерации исходных данных, нахождения оценок для данных задач с помощью различных численных методов. Автоматизированные системы обработки информации и управления» в Саратовском государственном техническом университете. Апробация работы. Основные теоретические положения и практические результаты работы обсуждались и докладывались на: II. Всероссийской научно-практической конференции «Современные технологии в обучении и производстве», г. Камышин, XVI международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях мММТТ-ДОНи», г. Ростов-на-Дону, III Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике» (ВК), г. Пенза. Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ. Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы из 1 наименования; содержит 2 рисунка, 6 таблиц, 3 приложения, комплекс программ. Анализ ошибок в численном анализе должен являться непременной составной частью любого вычисления, независимо от того, производиться это вычисление вручную или с помощью ЭВМ. Исходная информация очень редко является точной, так как часто исходные величины являются экспериментальными данными или основаны на приблизительных оценках. Кроме того, сами процессы вычислений могут вносить в результат различного рода ошибки []. Формула (1. В данном случае камнем преткновения оказалась четырехзначная арифметика, но не надо думать, что восемь или шестнадцать значащих цифр решат все проблемы.