Применение пакетов аналитических вычислений к решению задач комбинаторной геометрии

• Автор: Никонорова, Юлия Васильевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Барнаул
• Количество страниц: 80 с. : ил

Содержание
Введение

1 Система аналитических вычислений Мар

1.1 Использование систем аналитических вычислений в математических исследованиях

1.2 Основные возможности системы аналитических вычислений МарИ

2 Решение геометрических задач с помощью системы Мар

2.1 Обобщенная задача Т. Поповичи

2.2 О внутреннем расстоянии на поверхности параллелепипеда .

2.3 Задача Дж.В. Фике

2.4 Задача В.К. Ионина.

2.5 Системная организация алгоритмов поиска решений

Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Заключение
Литература


Кратко характеризуется один из лидеров систем символьной математики математический пакет Mathematica 2/3, имеющий тысячи встроенных и библиотечных функций и обладающий огромными возможностями графического представления решений. Описываются области применения систем компьютерной алгебры, начиная с образования и кончая фундаментальными исследованиями. Во втором разделе первой главы подробно рассматриваются основные возможности систем класса Maple, второго лидера среди систем компьютерной алгебры. Упоминается история создания систем этого класса, а также детально изучается наиболее популярная версия Maple V Release 4. Вторая глава диссертации посвящена решению некоторых геометрических задач с помощью системы компьютерной математики Maple V R4. Отметим, что приведенные решения являются приоритетными и представляют ценность и вне контекста использования вычислительной техники. Первый раздел второй главы посвящен решению обобщенной задачи Т. Поповичи. Рассмотрим на евклидовой плоскости выпуклый четырехугольник ABCD. AyBl I BiCI CXD DA для некоторого к > 0. Прямые АВ, ВС, CDi, DA образуют четырехугольник KLMN (К, L, М, N — точки пересечения первой и четвертой, первой и второй, второй и третьей, третьей и четвертой прямых соответственно), лежащий внутри ABCD. Обозначим через S и s площади четырехугольников ABC О и KLMN соответственно. Задача Т. Поповичи (Т. Popoviciu) ([], с. Решение оригинальной задачи Т. Поповичи было получено в [7]. В первом разделе получено более общее утверждение, справедливое для всех к > 0. Теорема 2. S помещается в непрерывное семейство четырехугольников с тем же свойством, содержащее некоторый параллелограмм. Второй раздел посвящен исследованию свойств внутреннего расстояния на поверхности прямоугольного параллелепипеда. Рассмотрим в трехмерном евклидовом пространстве прямой параллелепипед Р = ABCDA'B'C'D' со сторонами длины АВ = а, |AD = b, АА' = с, а < b < с. Объектом нашего исследования является внутреннее расстояние между точками на поверхности S = дР параллелепипеда Р. Напомним, что внутренним расстоянием d(M, N) между точками М ? S и N 6 S называется минимум длин ломаных, лежащих в S и соединяющих точки М и N. Достаточно сложной задачей является определение самой далекой точки поверхности от заданной точки в смысле внутреннего расстояния. Даже в том случае, когда в качестве фиксированной точки берется вершина параллелепипеда, не вполне ясно какая точка будет от нее самой удаленной. Например для куба самой далекой точкой от вершины является противоположная вершина, в случае же параллелепипеда с размерами 1x1x2 противоположная вершина не является самой удаленной точкой. Целью второго раздела является выявление критерия того, что существует точка, удаленная в смысле внутреннего расстояния от данной вершины более, чем противоположная вершина. Теорема 2. Ьс - ас — ab > 0. В третьем разделе второй главы решается задача Дж. В. Фике. Р = ABCD и Р<2 — EFGH. Пусть - длина той части границы DPi первого прямоугольника, которая попадает во внутренность int(P2) второго. Аналогично, Ьг - длина части границы дРо второго прямоугольника, попадающей во внутренность int(Pi) первого. Задача Дж. В. Фи-ке (J. Доказана следующая теорема. Теорема 2. Четвертый раздел второй главы посвящен решению задачи В. К. Ио-нина. Рассмотрим на евклидовой плоскости простую замкнутую ломаную, состоящую из нечетного числа звеньев длины 1. Требуется доказать, что площадь области, ограничиваемой данной ломаной, не меньше площади равностороннего треугольника со стороной 1, то есть не меньше чем /3/4. Рассматривается несколько более общая постановка. Пусть на евклидовой плоскости дама простая замкнутая ломаная с т звеньями, одно из которых имеет длину а € [0,1], а длины остальных звеньев равны 1. Обозначим через S площадь области, ограничиваемой данной ломаной. Теорема 2. При т = 2п - 1 справедливо неравенство S > ~л/4 — а2. При т = 2п справедливо неравенство S > ^р/4 - (1 — о)2. Оба неравенства неулучшаемы. В качестве следствия при а = 1 получается решение сформулированной выше задачи В. К. Ионии а. Теорема 2.