Вычислительные методы в спектральной теории оператора Штурма-Лиувилля

• Автор: Абзалимов, Рамиль Рафикович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 115 с. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Глава 1. Регулярная задача.

1. Описание метода расчта собственных чисел

и собственных функций.

2. Основные теоремы

3. Вычисление регуляризованного следа

4. Краевая задача со спектральным параметром в

краевых условиях

5. Обобщение на дифференциальные уравнения п го

порядка.
6. Примеры регулярных задач
7. Таблицы расчтов собственных чисел для
регулярных задач
Глава 2. Сингулярная задача
1. Классификация задач.
2. О выборе краевых условий
3. Основные результаты.
4. Вычисление регуляризованного следа
5. Примеры сингулярных задач.
6. Таблицы расчтов собственных чисел
для сингулярных задач.
Список литературы


Л • w(x) - q(x)) • sin2 в. Метод фазовых функций хорошо известен и применяется в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для доказательств теорем осцилляций и сравнения, в вычислительной физике при решении задач квантовой механики на связанные состояния частиц и рассеяние (В. В. Бабиков []), в вычислительной математике для решения краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений с вещественными коэффициентами (A. A. Абрамов [7]; A. A. Абрамов [8]), где предложен и исследован, связанный с преобразованиями Прюфера, вариант ортогональной дифференциальной прогонки для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Данный метод имеет обобщение на системы двух уравнений первого порядка (A. A. Абрамов, В. В. Диткин, Н. Б. Конюхова и др. Метод фазовых функций требует введения вспомогательных функций, необходимых при получении асимптотических граничных условий в окрестностях особых точек. Более подробно о вспомогательных функциях см. A.A. Абрамова [8]. В настоящее время метод фазовых функций имеет различные модификации, в которых учитывается устойчивость решения задач с сингулярными концами, а также наличие сингулярно входящих в уравнения больших параметров, что экономит память ЭВМ при вычислении собственных функций и т. В работах []-[] предлагается метод, в котором основная краевая задача также сводится к нелинейному уравнению первого порядка путем замены Прюфера. Данный метод представляет собой, по мнению автора, некоторую модификацию метода фазовых функций, в которой дополнительно рассматривается классификация граничных точек, и относительно них записываются краевые условия (Л. Zettl []). Основные усовершенствования заключаются в том, что описанная процедура позволяет вычислять собственные числа, когда р(х) и w(x) могут менять знак на (а,Ь). В\у,иЬ)+ B2y,vb) = Q где w(x),v(x) решения задачи при некотором фиксированном Л. Использование замены Прюфера позволяет избавиться от необходимости учета точки поворота (хл называется точкой поворота, если д(хА) = Л). По нашему мнению, наличие точки поворота, по-видимому, должно упростить переход от сингулярной задачи к регулярной. Наличие хА позволяет получать пока лишь верхние и нижние оценки собственных чисел. Но с другой стороны, нами получена асимптотическая формула для собственных чисел оператора Штурма- Лиувилля, с сингулярным правым концом, относительно точки хя (P. В работе Е. П. Жидкова, А . Г. Соловьева [], рассматривается задача с убывающей потенциальной функцией, с некоторыми дополнительными условиями. Основная идея работы заключается в том, что производится замена бесконечного интервала конечным с переносом граничных условий из бесконечности, при котором используются асимптотические решения, при х -» +со. Эта процедура описывается в работах A. A. Абрамова [8], и достаточно хорошо развита. Результатом замены полуоси отрезком [0,/? R> О достаточно большое) является отличие найденных собственных чисел и собственных функций от искомых. Исследование влияния выбора точки R на погрешность их определения показывает, что она тем меньше, чем больше R. Реально же задача на [0,R] часто решается повторно, с большим R. Сравнение полученных при этом собственных чисел и собственных функций даёт информацию об их точности. Если она оказывается недостаточной (собственные числа и собственные функции сильно отличаются), то необходимо дальнейшее увеличение отрезка [О,У? Однако, Е. П. Жидков и А. Г. Соловьев обходят эту процедуру. Имея в своём распоряжении два собственных числа на различных отрезках строят их линейную комбинацию таким образом, что погрешность приближения будет существенно меньше, чем каждого по отдельности. То же самое производится и с собственными функциями. Однако следует отметить, что данный метод описан для спектральных задач с убывающей потенциальной функцией. Анализ литературы показал, что в настоящее время не встречаются работы, в которых применяется перенос и процедура уточнения собственных чисел для задач с растущей потенциальной функцией.