Исследование аналитической модели кромки при обработке изображений с использованием уравнений нелинейной диффузии

• Автор: Ковков, Дмитрий Валерьевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 108 с. : ил

Оглавление
Введение.
Глава 1. Модели обработки изображений с использованием уравнений в частных производных.

1. Основные подходы.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Дивергентная форма параболических уравнений. . .

1.3. Неустойчивость но Адамару для уравнений в дивергентной форме.

1.4. Применение свертки с гауссианом.

1.5. Фильтры с сильными разрывами

1.6. Модели с оптимизацией функционалов

2. Аналитическая модель сохранения кромки для уравнения

нелинейной диффузии.
2.1. Первый класс автомодельных решений и построение сингулярных решений.
2.2. Некоторые обобщения.
Глава 2. Обобщенные и сильные решения уравнения модели сохранения кромки.
1. Свойства решений уравнения нелинейной диффузии
1.1. Решение в смысле распределений.
1.2. Априорные оценки для производных.
1.3. Сохранение типа особенностей.
Разрешимость уравнения диффузии в функциональных классах.
2.1. Определение обобщенных решений.
2.2. Первая краевая задача.
2.3. Приближенные решения и априорные оценки для их
2.4. Предельный переход и построение решения
2.5. Вторая краевая задача
2.6. Задача Коши
Результаты расчетов.
3.1. Одновременное сохранение бесконечных градиентов и подавление шумов.
3.2. Вычисления на двумерных изображениях.
3. Второй класс автомодельных решений.
Свойства автомодельных решений
1.1. Монотнонность и ограниченность.
1.2. Обобщение на случай сферической и цилиндрической симметрии и на случай операторов более высоких порядков
1.3. Вид решений
Поведение решений при ос.
2.1. Предельные решения.
2.2. Характер асимптотического приближения решений. .
Заключение.
Литература


Если рассматривать такую функцию (сначала в одномерной по пространственной переменной интерпретации) в качестве начального условия задачи Коши для линейного уравнения в частных производных параболического типа (уравнения диффузии), то, такой шум будет исчезать с течением времени, в силу свойств указанного уравнения. С другой стороны, если рассмотреть ступенчатую функцию, которая интерпретирует кромку на изображении (резкую границу яркости), в качестве начальной функции для того же линейного уравнения диффузии, то кромка будет размазываться с течением времени и четкость картинки будет нарушаться. П. Перона и Дж. Для этой цели предлагается рассмотреть коэффициент диффузии, нелинейно зависящий от градиента решения. При этом он должен стремиться к нулю, когда производная решения стремится по модулю к бесконечности. В цитированной работе предлагаются типичные зависимости, удовлетворяющие указанному свойству. Однако авторы рассматривают уравнение диффузии в дивергентной форме. Простейшая подстановка выявляет некорректность по Адамару задачи с начальными условиями для предлагаемых зависимостей коэффициента диффузии от градиента решен и й. Идеи П. Пероны и Дж. Малика развивались в работах Catte F. Lions P. L., Morel J. M. and Coll T. Images selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion //SIAM J. Numer. Anal. Vol. Ml. Alvarez L. Lions P. L. and Morel J. M., Images selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion. II // SIAM J. Numer. Anal. Vol. В последней работе обнаруживается некорректность по Адамару и предлагается модель, использующая уравнение параболического типа в недивергентной форме. Здесь, в коэффициенте диффузии используется свертка с гауссианом, куда входит малый параметр. Однако не понятно, какое значение малого параметра должно браться в каждом конкретном случае обработки изображений. К тому же, само использование гауссиана с малым параметром означает фактически некоторую регуляризацию, то есть заранее приводит к размазыванию изображений. В работе Osher S. Rudin L. Feature-oriented image enhancement using shock filters. SIAM J. Numer. Anal. Vol. M4. Однако основная цель здесь сегментирование изображения, а не подавление шумов. В работах Rudin L. Osker S. Fatemi E. Nonlinear total varaition based noise removal algorithms //Physica D. Vol. Proesrrians M. Pauwels E. J., van Gool. L., Coupled geometry-driven diffusion equations for low-level vision // Geometry-driven diffusion in computer vision. Dordrecht: Kluwer Acad. Pubis. Необходимое условие экстремума в виде уравнения Эйлера-Лагранжа решается методом градиентного спуска. Полу ^чается довольно громоздкая система уравнений в частных производных с искз'сственно вводимым параметром и не лишенная неустойчивости по Адамару. В работе Цурков В. И., Аполитическая модель сохранения кромки при подавлении шумов посредством анизотропной диффузии // Изв. РАН. Теория и системы управления. С. 7-0 рассматривается уравнение нелинейной диффузии, справедливое вблизи кромок, с коэффициентом, зависящим от градиента в виде степенной функции и удовлетворяющего упомянутому условию Псроны-Малика. Найдено автомодельное решение с сингулярностью гёлъдеровского типа, которая сохраняется с течением времени. Автор интерпретирует этот факт как аналитическую модель сохранения кромки. Среди различных моделей с использованием дифференциапьных уравнений при обработке изображений выбор модели, обладающей следующими свойствами: разрешимостью соответствующих задач, устойчивостью в смысле малых возмущений начальных значений, одновременным подавлением шума и сохранением кромки, возможностью построения эффективного численного алгоритма в конкретных реализациях. Построение и анализ автомодельных решений, которые имеют сингулярности, сохраняющиеся с течением времени и интерпретирующие модель сохранения кромки на изображении; анализ асимптотического поведения автомодельных решений. Численное обоснование одновременного сохранения кромки и подавления шума в аналитической модели. Создание программного комплекса на основе применения аналитической модели сохранения кромки для эффективной обработки реальных изображений и его тестирование. Научная новизна.