Об итерационных методах решения операторных уравнений второго рода

• Автор: Плюта, Алексей Иванович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Ставрополь
• Количество страниц: 167 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Обзор литературы.

1. Метод последовательных приближений.

2. Метод ускорения сходимости монотонных приближений к решению

уравнения вида х Ах

3. Метод однопараметрического итеративного агрегирования решения линейных операторных уравнений вида х Лх , где оператор Л матрица л го порядка
4. Метод однопараметрического итеративного агрегирования решения нелинейных операторных уравнений вида хГх , где Гх нелинейный оператор
ГЛАВА 2. Построение приближений, сходящихся к спектральному радиусу и собственному вектору линейного оператора.

5. Построение приближений, сходящихся к спектральному радиусу линейного оператора

6. Построение приближений, сходящихся к собственному вектору линейного оператора

ГЛАВА 3. Развитие методов построения приближений, сходящихся к
точному решению операторного уравнения вида х Ах
7. Об одном итерационном методе решения системы линейных алгебраических уравнений вида Ах с квадратной матрицей А, в случае,
когда спектральный радиус матрицы А , больше чем единица.
8. Получение двусторонних оценок точного решения х операторного уравнения вида хЛх в случае, когда спектральный радиус оператора А не обязательно меньше единицы.
9. О некоторых подходах к уточнению границ решения операторных уравнений вида х Ах в случае, когда спектральный радиус операто ра А не обязательно меньше единицы.
. Гибрид методов ускорения сходимости монотонных приближений к решению х уравнения вида х Лх и однопараметрического итера
тивного агрегирования.
. Об одном варианте метода ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида х Ах
. Об одном варианте метода Зейделя
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
ЛИТЕРАТУРА


Предложены варианты методов, позволяющие строить приближения к решению уравнений вида 1, обладающие высокой скоростью сходимости. Разработано программное обеспечение на языке программирования , реализующее предложенные итерационные методы. Достоверность результатов работы вытекает из математической строгости постановки и решения исследуемых задач, а также из совпадения ряда полученных результатов в частных случаях с известными в литературе. Практическая значимость работы заключается в возможности применения полученных методов решения уравнения 1 при решении конкретных задач математики и экономики. Отдельные результаты могут быть использованы при чтении специальных курсов и подготовке учебных пособий. Зейделя, позволяющий строить приближения, сходящиеся к точному решению х уравнения I с помощью метода ускорения сходимости. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, заключения, списка литературы и приложения. В ней принята сквозная нумерация параграфов, для утверждений и формул введена двойная нумерация, включающая номер параграфа и порядковый номер утверждения или формулы в нем. Диссертация изложена на 7 страницах, список использованной литературы содержит наименования. ГЛАВА 1. Одним из наиболее известных итерационных методов решения систем линейных уравнений является метод последовательных приближений 4 метод простой итерации. Вх 1. Вхт, т 0,1,2,. В матрица порядка ихи, свободный вектор, ел, х неизвестный вектор, хЕЯ х0 начальное приближение. Метод 1. Теорелш 1. Если норма матрицы В меньше единицы В 1, то система уравнений 1. Г, имеет единственное решение и итерационный процесс 1. I оЦИГ тт 0,1,2,. ССО. Ь1 В . Можно гарантировать, что величина 5, если Вт е, т. И в гл называются эквивалентными. Таким образом, если условие изложенной выше теоремы выполнено для нормы . Любые две нормы в конечномерном пространстве являются эквивалентными. Определение 1. А, собственные значения матрицы й А А, а А матрица, сопряженная к матрице А т. При решении уравнения вида 1. Поясним как найти т количество итераций, обеспечи
вающих, для получения искомого решения системы 1. С ТОЧНОСТЬЮ ДО . При известных условиях к решению уравнения 1. ЭВМ. Недостатками метода последовательных приближений является, вообще говоря, недостаточно высокая скорость последовательных приближений 1. Я, близко к единице. Рассмотрим соответствующие примеры, когда по заданной точности е определяется количество приближений к вектору являющимся решением данной системы уравнений. В примере 1 выполняются все три условия а,б,в. Пример 1. Рассмотрим систему уравнений вида 1. Заметим, что значение точного решения х
4. В гВ 0 Используем метод 1. В данном примере т . Рассмотрим пример в котором не выполняется условие а. Пример 2. Рассмотрим систему уравнений вида 1. В 0. Заметим, что значение точного решения х
6. Используем метод 1. В данном примере т2. Рассмотрим пример, в котором выполняется лишь условие в. Пример 3. Рассмотрим систему уравнений вида 1. Используем метод 1. I . Определим 0. В данном примере т 7. Проиллюстрируем пример у которого не выполняется ни одно из данных условий а,б,в. Пример 4. Рассмотрим систему уравнений вида 1. В 0. Заметим, что значение точного решения х
9. Используем здесь метод 1. ТОЧНОСТИ . Отметим, что проиллюстрированные выше примеры, были реализованы при помощи разработанной автором программы на языке программирования . Из приведенных примеров видно, что для одного и того же , номер приближений, начиная с которого выполняется неравенство, бывает различным, а это говорит о том, что для достижения одной и той же точности для приближения к искомому вектору решения заданной системы уравнений приходится совершать различное количество приближений. В этой связи уместно ввести характеристику, которую можно назвать скоростью сходимости метода последовательных приближений. Эта скорость определяется числом тех итераций, которые необходимо совершить для того, чтобы соответствующие приближения x отличались от точного решения д меньше чем на . Оказывается , что эта скорость определяется величиной спектрального радиуса гВ матрицы В.