Коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа и их приложение

• Автор: Валишина, Диана Маратовна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 213 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Обзор основных направлений исследований по решению коэффициентных обратных задач для уравнений параболического типа

1. Определение корректности по А.Н.Тихонову.

2. О некорректности коэффициентных обратных задач.

3. Теоремы единственности решения коэффициентных

обратных задач КОЗ

4. Решение коэффициентных обратных задач

методом регуляризации

5. Решение коэффициентных обратных задач

методом квазиобращения

Краткие выводы по результатам главы 1
Глава 2. Определение младшего коэффициента уравнения параболического типа методом регуляризации.
1. Постановка коэффициентной обратной задачи.
2. Постановка вариационной задачи и алгоритм ее решения
методом регуляризации.
3. Разностная задача для вспомогательного
интегродифференциального уравнения.
4. Численное решение вспомогательной задачи.
Анализ результатов расчетов.
5. Определение младшего коэффициента уравнения.
Анализ результатов расчетов и выводы.
Краткие выводы по результатам главы
Приложение 1. Результаты вычислительных экспериментов
Глава 3. Определение старшего коэффициента уравнения параболического типа методом регуляризации
1. Постановка коэффициентной обратной задачи
2. Постановка вариационной задачи и алгоритм ее решения
методом регуляризации
3. Разностная задача для вспомогательного
интегродифференциального уравнения
4. Численное решение вспомогательной задачи.
Анализ результатов расчетов.
5. Определение старшего коэффициента уравнения.
Вывод различных формул для его вычисления.
Анализ результатов расчетов и выводы
6. Численное исследование коэффициентной устойчивости
соответствующей прямой задачи .
7. Сравнение регуляризированной задачи с
задачей квазиобращения
Краткие выводы по результатам главы 3.
Приложение 2. Результаты вычислительных экспериментов .
Глава 4. Использование коэффициентной обратной задачи для конструирования одномерного распределенного датчика температурного поля и ее численное решение
1. Постановка задачи о конструировании одномерного
распределенного датчика температурного поля.
2. Алгоритм решения задачи о продолжении решения
нелинейного интегродифференциального уравнения
3. Определение старшего коэффициента уравнения
параболического типа
4. Результаты численных расчетов.
4.1. Результаты численного решения вспомогательного интегродифференциального уравнения.
4.2. Результаты вычисления старшего коэффициента уравнения 4.1.5.
5. Нахождение температурного поля по результатам
вычисления старшего коэффициента.
Краткие выводы по результатам главы 4
Заключение .
Библиографический список используемой литературы .
Нумерация формул в работе ведется по главам, для теорем, рисунков и таблиц тройная первая цифра указывает номер главы для введения 0, вторая номер параграфа.
Введение
В диссертации рассматриваются задачи определения нестационарных физических полей, распределение которых описывается уравнениями параболического типа, содержащими неизвестные коэффициенты. Математические модели строятся как решения коэффициентных обратных задач КОЗ, известных как задачи идентификации 3, 5, . Неизвестной является векторфункция. Ее составляющие функция, для которой составлено уравнение, и коэффициенты эллиптического дифференциального оператора. Далее предполагается, что коэффициенты уравнения зависят от пространственной переменной и не зависят от времени. Постановки задач основаны на использовании теорем единственности решения КОЗ, доказанных М.В.Клибановым 2, , , 4. Для получения единственного решения КОЗ требуется задать на границе области решения переопределенный набор краевых условий функцию, для которой записано уравнение, и ее нормальную производную.
Известно , что задача определения равномерно эллиптического дифференциального оператора, входящего в параболическое уравнение, приводится в смысле исследования единственности и устойчивости к задаче нахождения специальной правой части дифференциального уравнения. Эта задача далее сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма 1го рода, то есть является условнокорректной . Для решения условнокорректных задач используются специальные методы регуляризации , , , , , , квазирешений , квазиобращения , , . В диссертации для решения КОЗ используется вариационная постановка задачи и метод регуляризации, причем стабилизатор норма пространства Соболева выбран в общем виде он содержит весовые коэффициенты. Исполь
зуется алгоритм, разработанный П.Г.Данилаевым и М.В.Клибановым 4, , сводящий решение КОЗ к задаче о продолжении решения некоторого вспомогательного интегродиффсренциального уравнения.
Актуальность


Уравнение задачи 3 преобразуется так, чтобы оно не содержало коэффициента дх. Для этого уравнение интегрируем по переменной в пределах от 0 до , а результат разрешаем относительно . Так как коэффициент цх не зависит от переменной , то 0. Вводим новую неизвестную функцию V,к. О,0Ио0, у,о Ц0, о. Начальное условие ух,0 не задается. Для решения задачи используется метод регуляризации. Значения функции ух,, ее производной ух на концах промежутка интегрирования заданы 6. Для функционала 7 записывается уравнение Эйлера, которое решается совместно с дополнительными условиями, дополненными естественными граничными условиями. ССРо V хх Ро V арх V ххи Ро2 ,
Л XV XV хх аР,,0 Рххх,0 0 х 1, 0
ЦИИ. Ро0р2ог7х,яРог 7
п
0,0 Ло0 0,0 Л 0. Ио0. Г,1,0 Ц0. Т уххх,Т , 0 0 х 1. Задача записывалась в конечноразностной форме и решалась численно. Использовался метод матричной прогонки с итерациями. Для оценки эффективности предложенного алгоритма решалась тестовая задача. Результаты расчетов представлены графически и сравниваются с точным аналитическим решением. В 4 оцениваются результаты вычисления вспомогательной функции Д,г. В процессе счета исследовалась зависимость численного решения задачи от выбора величины параметра регуляризации, весовых коэффициентов, шага по времени, времени окончания счета и времени оценки расчетов. Отрабатывалась методика по выбору всех этих параметров. Нулевое приближение выбиралось как линейная интерполяция значений функций, заданных на границе области решения. Установлено, что параметр регуляризации влияет на скорость сходимости процесса. Из весовых коэффициентов наиболее сильно влияет на результат ,0. При его увеличении до определенного предела результат улучшается. После вычисления функции ух, ищется коэффициент x
Результат нахождения младшего коэффициента зависит от точности вычисления вспомогательной функции удг,г. Там, где вспомогательная функция близка к точному значению, наблюдается хороший результат при сравнении вычисленного коэффициента ух с его точным значением. Наилучший результат достигается в случае, когда нулевое приближение выбрано как линейная интерполяция граничных значений функции. В случае, когда параметр регуляризации равен нулю, решение получается неустойчивым. Таким образом, применение регуляризации при решении КОЗ является необходимым условием для получения устойчивого решения, близкого к точному. В третьей главе исследуется КОЗ об определении коэффициента, входящего в дивергентную главную часть уравнения параболического типа и не зависящего от времени . Здесь о0ьф заданные функции, удовлетворяющие условиям согласования. Как и ранее в главе 2, из уравнения 9 исключается коэффициент кх и делается переход к новой неизвестной функции ул,Г мм. Ихо0 йб0. А0. Л0. О 1Т. Начальное условие ух,0 задается произвольно. Н 1 Л К 1пфх 2 У Л, 3 1 ЕУ2Л. Задача является условнокорректной. Она содержит переопределенный набор краевых условий. Хкх,уихЖ. Для функционала записывается уравнение Эйлера. Оно решается совместно с дополнительными условиями, дополненными естественными граничными условиями. ХГ0 V Х . V, ,0 Л ,В у х,1 ар V, х,, 0, х0 х х,. Численное решение соответствующей разностной начальнокраевой задачи находилось методом матричной прогонки с итерациями. В расчетах полагалось к, к к 0. Для анализа предложенного алгоритма исследования КОЗ использовалась тестовая задача, имеющая точное аналитическое решение. Исследовалось влияние выбора величины параметра регуляризации и весовых коэффициентов стабилизатора на поведение численного решения, величины отрезка времени, на котором ищется решение интегродифференциального уравнения, шагов разностной сетки. Решение задачи выполнялось в два этапа. На первом этапе численно решалась задача о продолжении решения вспомогательного интегродиффсренциального уравнения. На втором этапе по результатам вычисления вспомогательной функции определялся коэффициент кх. Для вычисления коэффициента используется система двух линейных алгебраических уравнений СЛАУ относительно неизвестных к,кх, полученная из уравнения 9.