Исследование некоторых моделей риска на основе асимптотического анализа и численных методов

• Автор: Скварник, Евгений Святославович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 120 с. : ил.

Оглавление
Введение

1. Математические модели риска и актуальные вопросы

страховой математики

1.1 Классическая модель риска

1.2 Распределения выплат с тяжелыми хвостами и известные результаты .

1.2.1 Вероятность разорения и геометрические суммы .

1.2.2 Двусторонние оценки для функции распределения

геометрической суммы

1.2.3 Построение нижних оценок методом пробных функций

1.2.4 Численные результаты

1.2.5 Проблема средних значений начальных капиталов
в классической модели риска.
1.3 Классическая модель риска с постоянным приростом начального капитала
1.3.1 Асимптотическая формула для вероятности разорения
1.4 Модель риска с дискретным временем и случайным финансовым риском.
2. Асимптотические и двусторонние оценки вероятности ра
зорения
2.1 Быстрый алгоритм численного интегрирования .
2.2 Двусторонние оценки вероятности разорения в классической модели риска с постоянным приростом начального капитала
2.3 Оценки вероятности разорения в модели риска с дискретным временем и случайным финансовым риском
2.3.1 Оценки вероятности разорения на одном временном
отрезке
2.3.2 Оценки вероятности разорения на многих отрезках времени
2.3.2.1 Формулировка основных результатов
2.3.2.2 Доказательство основных результатов
3. Алгоритмы вычисления вероятности разорения
страховой компании
3.1 Решение задачи о средних значениях
в классической модели риска
3.1.1 Единственность решения интегрального уравнения
в классической модели риска
3.1.2 Основная идея решения задачи.
3.1.3 Алгоритм решения задачи и его свойства.
3.1.4 Численные оценки вероятности разорения.
3.2 Алгоритм нахождения оценок
вероятности разорения с постоянным интересом.
3.2.1 Результаты численного эксперимента по вычислению функций фх, грх
3.2.2 Асимптотические формулы для вычисления
функции гх
3.2.3 Численный анализ качества асимптотик 7рх и
3.3 Численные оценки вероятности разорения в модели риска с
дискретным временем и случайным финансовым риском . .
3.3.1 Оценки вероятности разорения на одном отрезке времени
3.3.2 Оценки вероятности разорения на многих отрезках времени
Заключение
Литература


Возникающие задачи интересны математически и требуют разработки новых методов исследования. Достаточно заметить, что даже при анализе классических моделей были востребованы факторизация Винера-Хопфа, тождество Спицера, теория мартингалов, теория марковских процессов и случайного блуждания. Желание рассматривать более реалистичные модели приводит как к учету новых факторов (инфляция, перестрахование и др. Например, асимптотика вероятности разорения (при бесконечном увеличении начального капитала страховой компании) совершенно различна в ситуациях, когда случайные размеры выплат имеют экспоненциальный момент и когда их распределения имеют тяжелые хвосты. Нужно упомянуть несколько работ, посвященных оценкам вероятностей разорения. Следующий перечень содержит наиболее важные работы. Первая группа работ затрагивает модели страхования, когда распределения размеров выплат имеют экспоненциальный момент: Россберг и Сигель [8], Калашников [], Фуррер и Шмидли []. Невозможность получения явного вида вероятности разорения во многих моделях приводит к необходимости нахождения различных аппроксимаций. К подобным аппроксимадиям можно отнести асимптотические формулы, дающие выражения для вероятностей разорения при больших значениях начального капитала. Примером может служить знаменитая формула Крамера-Лундберга (см. Другими примерами являются аппроксимации типа эвристической формулы де Вильдера (см. Существенным недостатком упомянутых типов аппроксимаций является отсутствие оценок их точности. Более того, существуют примеры, когда их применение приводит к большим относительным ошибкам. В этом плане предпочтительнее иметь двусторонние оценки вероятностей разорения. Часть диссертационной работы посвящена разработке методов получения подобных оценок, которые по меньшей мере достоверно указывают область изменения искомой функции и в известном смысле согласуются с существующими асимптотическими формулами. При нахождении аппроксимаций вероятностей разорения в работе используются не только аналитические и численные методы, но и методы компьютерного моделирования. Эффективность и достоверность их использования часто требуют решения нетривиальных математических задач. Например, стандартные методы математической статистики не работают при попытке их использования для оценивания вероятности разорения на основе моделирования процессов риска просто потому, что разорение является редким событием. Это приводит к необходимости моделирования, например, процессов, получаемых из исходных процессов риска путем соответствующего преобразования вероятностной меры. В первой главе определяется случай тяжелых хвостов и приводятся примеры распределений с тяжелыми хвостами. Рассматривается классическая модель риска с однородным пуассоновским потоком платежей интенсивности Л > 0 и постоянной ставкой премий с. Проводится обзор и сравнение известных аналитических и численных методов оценки вероятности разорения, а также рассматривается проблема средних значений начальных капиталов для данной модели риска. Описываются классическая модель риска с постоянным приростом начального капитала и модель риска с дискретным временем при условиях, что начальный капитал стремится к бесконечности и распределения страхового и финансового рисков имеют тяжелые хвосты. Вторая глава содержит основную аналитическую часть работы. Здесь приводятся собственные асимптотические и двусторонние оценки для вероятности разорения в рамках двух математических моделей риска: модели риска с постоянным приростом начального капитала и модели риска с дискретным временем при условиях, что начальный капитал стремится к бесконечности и распределения страхового и финансового рисков имеют тяжелые хвосты. Главным результатом второй главы явилось доказательство нескольких теорем. В третьей главе приводятся оригинальные алгоритмы расчета вероятности разорения страховой компании, основанные на аналитическом исследовании моделей риска, расмотренных в первой и второй главах работы. Даются оценки точности всем алгоритмам и оценка скорости сходимости одного из этих алгоритмов.