Исследование устойчивости разностных схем для некоторых задач полупроводниковой технологии

• Автор: Пономарева, Алина Сергеевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 132 с. : ил.

1.1 Постановка разностной задачи для уравнения конвективной

диффузии с малым параметром при старшей производной .

1.2 Построение разностных схем для уравнения конвективной диф

фузии .

1.3 Исследование устойчивости разностных схем с искусственной

дисперсией .

1.4 Выводы
Глава 2. Об одной задаче для системы параболических уравнений со специальными граничными условиями

2.1 Математическое моделирование процесса выращивания твер

дых растворов полупроводников из жидкой фазы

2.2 Решение модельной дифференциальной задачи

2.3 Исследование устойчивости разностной задачи.
2.4 Результаты численных расчетов.
2.5 Выводы
V Глава 3. Асимптотическая устойчивость разностной схемы для
одной краевой задачи
3.1 Понятие асимптотической устойчивости
3.2 Вычисление точного решения разностной схемы.
3.3 Исследование асимптотической устойчивости и точности раз
ностной схемы
3.4 Описание численных расчетов.
3.5 Выводы.
Глава 4. Численное моделирование эпитаксиального выращивания тройных полупроводниковых соединений
4.1 Физикохимические основы процесса.
4.2 Математическое моделирование процесса выращивания твер
дых растворов С1уНдууТс из жидкой фазы .
4.3 Моделирование эпитаксиального выращивания твердых рас
творов А1уСауАэ из жидкой фазы.
4.4 Выводы.
Заключение
V
I

Введение


Сущность этого метода состоит в кристаллизации из растворарасплава на подложке полупроводниковых соединений. С понижением температуры жидкая фаза становится пересыщенной, и растворенные в ней вещества осаждаются на границе расплавподложка в виде монокристаллического слоя . Происходящие в расплаве процессы определяются скоростью охлаждения системы, начальным составом подложки и другими параметрами. Математическое моделирование задачи о выращивании эпитаксиальных слоев полупроводниковых материалов из раствора расплава проводится в работах , 6. Основу математической модели составляют двумерные уравнения концентрационной конвекции в приближении Буссинеска. Предполагается, что концентрации веществ у фронта кристаллизации находятся в состоянии квазиравновесия и связаны уравнением ликвидуса. Другим граничным условием для концентраций на границе раздела фаз является условие баланса частиц. При отсутствии в расплаве конвекции процесс описывается с помощью диффузионной модели с граничными условиями специального вида. Разностная задача, аппроксимирующая систему параболических уравнений, является несамосопряженной, что значительно затрудняет ее теоретический анализ. В первой главе изучается одномерное линейное уравнение конвективной диффузии с малым параметром при старшей производной. Приводится обзор различных способов аппроксимации конвективных членов, отмечаются их преимущества и недостатки. Для схем с искусственной дисперсией на трехточечном и пятиточечном шаблонах по пространству при помощи общей теории разностных схем А. А. Самарского и А. В. Гулина устанавливаются достаточные условия устойчивости. Во второй главе изучается одномерная линеаризованная система двух параболических уравнений с граничными условиями специального вида, являющаяся модельной для задачи о выращивании полупроводниковых материалов методом жидкофазовой эпитаксии. Находятся области изменения параметров, в которых имеются не убывающие по модулю во времени частные решения дифференциальной системы. При помощи оценки предела при оо модуля сеточного решения в граничной точке шаблона, исследуется устойчивость двух разностных схем с явной реализацией граничных условий. Устанавливаются диапазоны изменения параметров задачи, в которых эти схемы являются безусловно устойчивыми, условно устойчивыми или неустойчивыми при любых соотношениях шагов сетки Н и г. Вместе с тем, отмечается, что убывание во времени по модулю решений дифференциальной задачи является необходимым условием устойчивости чисто неявной схемы, использующей совместное вычисление искомых функций методом матричной прогонки. Полученные теоретические результаты подтверждаются численными расчетами. Отмечается, что для чисто неявной схемы необходимые условия устойчивости выполняются везде, где решения дифференциальной задачи убывают во времени по модулю. Теоретические результаты подтверждаются численными расчетами. В третьей главе исследуется асимптотическая устойчивость и точность разностной задачи, аппроксимирующей модельную систему параболических уравнений со специальными граничными условиями. Для системы разностных уравнений, соответствующих схемам с явной аппроксимацией одного из граничных условий и чисто неявной схеме, по аналогии с дифференциальным случаем, вычисляется частное решение в виде сеточной собственной функции. Вместе с тем, решение системы разностных уравнений для каждой из рассматриваемых схем при тех же начальных и граничных условиях, находится методом прогонки и сравнивается с точным решением на сетке. В диапазоне изменения параметров задачи, соответствующем области неустойчивости схемы с явной аппроксимацией одного из граничных условий, при любых соотношениях Л и г выявляется расхождение между первой собственной функцией разностной задачи и численным решением. Таким образом, для численных алгоритмов, использующих явную реализацию одного из граничных условий, доказывается отсутствие асимптотической устойчивости. В случае чисто неявной схемы имеется практически полное совпадение во всех рассмотренных вариантах первых гармоник разностной задачи и численного решения.