Применение предобуславливателей для численного решения интегральных уравнений итерационными методами

• Автор: Федотов, Илья Евгеньевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 157 с. : ил.

Оглавление
Оглавление
Введение
О численном решении интегральных уравнений многомерных задач математического моделирования и возникающих при этом проблемах

Краткий обзор существующих публикаций

Содержание и результаты работы

Глава 1. Обзор существующих методов и постановка задачи

Системы линейных алгебраических уравнений

Численные методы решения СЛАУ

Метод минимальных невязок

Многошаговый метод минимальных невязок

Использование предобуславливателей
Экономия вычислительных ресурсов в итерациях
Решение интегралыгых уравнений
Рассматриваемые интегральные уравнения
Уравнения с вырожденным ядром и резольвента
Дискретизация методом Галеркина
Метод коллокации для кусочнопостоянной аппроксимации
Постановка задачи
Глава 2. Изложение предлагаемых методов
Разреженный предобуславливатель для одномерных интегральных уравнений
Кусочнопостоянный предобуславливатель
Предобуславливатель для уравнения в пространстве непрерывных функций
Предобуславливатель в пространстве функций, непрерывных с производной
Предобуславливатель для уравнений с периодическими функциями
Обобщение разреженного предобуславливателя на многомерные задачи
Структура предобуславливателя в многомерном случае
Предобуславливатель в пространстве многомерных непрерывных функций
Многомерный предобуславливатель для периодических функций
Предобуславливатель для систем интегральных уравнений
Плотный предобуславливатель для интегральных уравнений
Предобуславливатель на основе резольвенты
Плотный предобуславливатель с непрерывной резольвентой
Плотный предобуславливатель для систем интегральных уравнений
Формирование плотного предобуславливателя с внешним параметром
Сокращение количества операций при умножении на вектор
Некоторые вопросы сходимости рассматриваемых итерационных методов при решении интегральных уравнений
Обоснование возможности подбора предобуславливателя
Обход отсутствия сходимости метода минимальных невязок
Г лава 3. Программная реализация и численные эксперименты
Платформа для проведения экспериментов
Реализованное программное обеспечение
Примеры интегральных уравнений с плохой сходимостью
Численные эксперименты
Формирование прототипа матрицы СЛАУ
Сходимость для одномерного интегрального уравнения
Сходимость для одномерного уравнения с периодическими функциями
Сходимость для двумерного интегрального уравнения
Соответствие сходимости для сеток разных размерностей
Эффективность модификации ММ и МММ
Выводы
Глава 4. Применение к задачам математического моделирования
Решение задачи рассеяния электромагнитных волн
Теоретическое описание математической модели
Аналитическая подготовка к вычислениям
Численное решение и результаты
Расчет звукового излучения в пространстве
Описание задачи математического моделирования
Результаты численного решения
Заключение
Список литературы


Такая техника упрощает хранение матрицы в памяти и умножение ее на вектор для случаев больших размерностей, однако это никак не влияет на сходимость итерационных методов. Из обзора существующих публикаций видно, что область исследований настоящей работы, а именно общие методы формирования предобуславливателей для многомерных интегральных уравнений с оператором, действующим в пространстве квадратично интегрируемых функций, несмотря на свою перспективность, на сегодняшний момент недостаточно проработана, что подтверждает актуальность этих исследований. В первой главе настоящей работы приводятся основные существующие подходы в обозначенной предметной области, которые используются как основа для изложения предлагаемых методов в последующих главах. Приводятся основные сведения о СЛАУ и описываются некоторые существующие методы их численного решения. Рассматриваются некоторые существующие способы сокращения затрачиваемых вычислительных ресурсов, в том числе использование предобуславливателей. Также излагаются некоторые методы численного решения линейных интегральных уравнений. Именно такие интегральные уравнения образуются при решении многих корректно поставленных задач математического моделирования и могут быть решены численно путем решения СЛАУ большой размерности. Уравнение (В. Рассматриваются многомерные интегральные уравнения и системы интегральных уравнений, поскольку именно такие уравнения представляют основной интерес. При численном решении уравнения (В. Исходя из значений полученного при решении этой СЛАУ вектора, приблизительно могут быть вычислены значения неизвестной функции и(х) уравнения (В. Чтобы полученное в результате приближенное решение было в достаточной степени точным, СЛАУ (В. Требуемое количество вычислительных ресурсов при решении такой СЛАУ итерационными методами в общем случае зависит от ее размерности квадратично. Это создает весьма ощутимые сложности, особенно при решении многомерных интегр&тьных уравнений, поэтому при решении итерационными методами стараются использовать все доступные средства по увеличению скорости сходимости. Для этого используются различные методы предобуславливания СЛАУ, т. При этом используют такую невырожденную матрицу предобуславливателя Р, чтобы полученная матрица РА обеспечивала более высокую сходимость при использовании итерационных методов. Аи =и - Ки = /. РАй = Р/. Во второй главе излагаются теоретические основы предлагаемых методов и алгоритмов формирования предобуславливателей, ориентированных на использование при численном решении многомерных интегральных уравнений. При численном решении интегрального уравнения путем введения различных сеток дискретизации возможно построение нескольких матриц различной размерности с очень близкими свойствами. Также следствием свойств непрерывности функций уравнения может оказаться близость значений соседних элементов матрицы. На основании именно этих особенностей, которые специфичны не только для матрицы, образованной из оператора интегрального уравнения, но и из обратного ему оператора, предлагается построение различных типов предобуславливателей для численного решения интегральных уравнений. Много внимания уделяется построению предобуславливателей с разреженной структурой матрицы, поскольку такие матрицы удобны в использовании из-за экономии памяти и экономии ресурсов при умножении на вектор. При этом предлагаются достаточно несложно реализуемые методы построения для случая многомерного интегрального уравнения. Также рассматриваются методы формирования предобуславливателей с плотной структурой, которые в общем случае требуют больше ресурсов при использовании, однако обеспечивают значительно лучшую сходимость. Предлагается вариант построения плотного предобуславливателя с наиболее оптимальным параметром, задаваемым извне. Также предлагается способ сокращения требуемых при использовании плотного предобуславливателя вычислительных ресурсов. Уделяется внимание итерационным методам. Обосновывается существование возможности выбора оптимального предобуславливателя, что является особенно актуальным при построении плотного предобуславливателя с внешним параметром.