Математическое моделирование температурного состояния конструкций из неоднородных материалов на основе двойственной вариационной формулировки сопряженной задачи теплопроводности

• Автор: Родиков, Алексей Викторович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 199 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ стр.

ВВЕДЕНИЕ

1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО СОСТОЯНИЯ ДЛЯ СОПРЯЖЕННОЙ НЕОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

2.1. Постановка задачи

2.2. Вариационная формулировка задачи.

2.2.1. Построение прямого функционала.

2.2.2. Построение встречного функционала

2.3. Требования к аппроксимации допустимых функции альтернативных функционалов.

2.3.1. Допустимые функции прямого функционала.

2.3.2. Допустимые функции встречного функционала

2.4. Оценка точности численного решения.
2.4.1. Определение среднеквадратической погрешности.
2.4.2. Определение двусторонней оценки собственных значений оператора задачи
3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО СОСТОЯНИЯ ДЛЯ СОПРЯЖЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
3.1. Постановка задачи
3.2. Вариационная формулировка задачи.
3.2.1. Построение прямого функционала.
3.2.2. Построение встречного функционала
3.3. Требования к аппроксимации допустимых функций
альтернативных функционалов
3.3.1. Допустимые функции прямого функционала
3.3.2. Допустимые функции встречного функционала.
3.4. Оценка точности численного решения
3.4.1. Определение среднеквадратической погрешности
3.4.2. Определение нижней границы первого собственного значения оператора задачи.
4. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
4.1. Однородное ребро.
4.1.1. Постановка задачи
4.1.2. Вариационная формулировка задачи.
4.1.3. Аналитическое решение
4.1.4. Численное решение
4.1.5. Результаты компьютерного моделирования.
4.2. Неоднородный стержень
4.2.1. Постановка задачи
4.2.2. Вариационная формулировка задачи.
4.2.3. Аналитическое решение
4.2.4. Численное решение
4.2.5. Результаты компьютерного моделирования
4.3. Оболочка камеры сгорания двигателя.
4.3.1. Случай идеального контакта между внутренней и наружной стенкой
4.3.1.1. Постановка задачи
4.3.1.2. Вариационная формулировка задачи.
4.3.1.3. Применение метода конечных элементов.
4.3.1.4. Определение разности значений функционалов
4.3.1.5. Результаты компьютерного моделирования.
4.3.2. Случай неидеального контакта между внутренней и наружной стенкой
4.3.2.1. Постановка задачи
4.3.2.2. Вариационная формулировка задачи.
4.3.2.3. Результаты компьютерного моделирования.
РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


Известно большое число различных методов, способов и приемов построения приближенных аналитических решений [3, 9, ]. Значительная часть их достаточно сложна и может быть реализована практически только лишь средствами современной вычислительной техники. Это обстоятельство затрудняет проведение четкой границы между приближенными аналитическими методами и численными методами. Основным численным методом решения дифференциального уравнения теплопроводности является метод конечных разностей [4, , ]. Формально он базируется на приближенной замене в дифференциальном уравнении и граничных условиях производных разностными соотношениями между значениями температуры в узлах конечно-разностной сетки. В итоге для каждого узла с неизвестным значением температуры получается алгебраическое уравнение, которое для задачи стационарной теплопроводности может быть получено из условия баланса тепловых потоков в дискретной модели тела, состоящей из теплоироводящих стержней [,]. Методы решения таких уравнений хорошо разработаны [4,, ], а для их реализации в программном обеспечении современных ЭВМ предусмотрены стандартные программы [2, ]. Алгебраическому уравнению для каждой узловой точки можно дать вероятностную интерпретацию и использовать для решения задачи метод статического моделирования (метод Монте-Карло) [, ,, ]. В уравнении теплопроводности можно аппроксимировать конечными разностями производные не по всем независимым переменным. В итоге получим систему дифференциальных уравнений. Если удается получить аналитическое решение такой системы, то оно будет приближенным решением задачи. Система дифференциальных уравнений может быть решена методами численного интегрирования Эйлера-Коши, Рунге-Кутты и Адамса [4, 6,, ]. Большая группа методов приближенного решения задач теплопроводности базируется на математической формулировке, связанной с интегральным представлением взвешенной невязки. Эту группу методов называют методами взвешенной невязки (МВН) [9]. Их особенность состоит в подборе решения из условия малого рассогласования (невязки) при его подстановке в дифференциальное уравнение и краевые условия. Если структура приближенного решения подбирается так, что оно тождественно удовлетворяет всем граничным условиям, то МВН называют внутренним, так как неизвестные величины в решении определяются из условия малости невязки дифференциального уравнения для внутренних точек М е F в объеме тела V. В граничных МВН приближенное решение строится таким образом, что оно во всех внутренних точках удовлетворяет дифференциальному уравнению и, возможно, некоторым граничным условиям, а неизвестные величины находятся из условия малости невязки, возникающей при подстановке решения в оставшиеся граничные условия. И наконец, в общем случае (смешанные МВН) решение не удовлетворяет дифференциальному уравнению и всем или части граничных условий и рассматриваются невязки как во внутренних точках, так и точках на поверхности тела. Особенности различных МВН определяются выбором весовой функции v(M) в интегральном представлении взвешенной невязки. Для тела сложной формы подбор базисных и весовых функций, удовлетворяющих определенным условиям на различных его поверхностях, является довольно сложной задачей. Наиболее универсальным в этом отношении является метод конечных элементов [, , , ], когда вместо распределения температуры во всей рассматриваемой области проводится аппроксимация в пределах каждого из элементов, на которые условно разбита область. В самом простом варианте этого метода используются элементы в виде треугольников (для двумерных) и тетраэдров (для трехмерных задач), в пределах которых распределение температурного поля задается линейной функцией пространственных координат, выражаемой через температуры 7} в вершинах элементов. Использование экстремальных свойств функционала для определения неизвестных коэффициентов в допустимом распределении температуры составляет существо прямых методов вариационного исчисления. Среди них можно отметить метод Рэлея-Ритца [] и метод локальной вариации [].