Простые оценки областей устойчивости в дискретных моделях динамики популяций

• Автор: Комиссарова, Дарья Амировна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 102 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Устойчивость систем разностных уравнений с запаздываниями, описывающих динамику популяций

1.1 Биологическая мотивация

1.2 Постановка задачи

1.3 Характеристическое уравнение общей системы

1.4 Многомерный аналог условия устойчивости Кона . .

1.5 Перенос методов БерезанскогоБравермаиЛиза на исследование устойчивости систем

1.6 Признаки устойчивости и неустойчивости уравнения

хп Лхп Ь Вхпк.

1.7 Приложения к дискретным моделям хищникжертва

1.8 Овалы устойчивости для уравнения хп жп1Вхпк
1.9 Сравнение результатов первой главы с известными результатами
2 Устойчивость линейных разностных уравнений с запаздываниями
2.1 Линейные разностные уравнения высшего порядка и модели динамики популяций.
2.2 Формирование гипотезы о симплексе устойчивости . .
2.3 Вспомогательные технические леммы
2.4 Основная теорема о симплексе устойчивости
2.5 Следствия из основной теоремы .
2.6 Максимальность найденного симплекса устойчивости
2.7 Замечание о глобальной устойчивости логистического уравнения Пиелоу.
2.8 Технические результаты об устойчивости разностного
уравнения Вольтерра
2.9 Симплекс устойчивости для разностного уравнения
Вольтерра.
2. Сравнение результатов второй главы с известными результатами
21 Сравнение с работами Кука и Дьери,
Дьери и Хартунга
22 Сравнение с работой Танга и Джианга
23 Предшествующие аналогичные результаты
о дифференциальных уравнениях.
Заключение
Список литературы


В свою очередь, модель Пиелоу происходит от модели Бевертона-Холта [. Уп—1 //-. Проблема прогнозирования поведения (в частности, устойчивости) биологических систем является одной из основных проблем в экологии. Поэтому необходимы определение признаков устойчивости моделей динамики популяций и установление границ устойчивости в пространстве параметров. Асимптотическая устойчивость нулевого решения уравнения (0. Однако, если рассматривать уравнение (0. Для частного случая уравнения (0. Левиным и Мэем [] был найден критерий асимптотической устойчивости. Позднее, в г. С. Курук-лис определил область устойчивости уравнения (0. Ь). В г. Ф. Даннан и С. Элайди в работе [1 получили область устойчивости для уравнения (0. Уравнение (0. К). Николаева [, , ] ( - ), Ф. Даннана [] (), М. Кипниса и Р. Нигматулина [] (). В результате была найдена граница области устойчивости уравнения (0. Ь). Л. Березанского, Е. Браверман, Э. Лиза, М. Пи-тука, Б. Фсррейро [, , , , ] ( - гг. Кроме того, к исследованию устойчивости можно отнести работы X. Пуанкаре [] (), О. Перрона [] () и А. Кона [] (), посвященные изучению расположения корней полинома, поскольку известно, что линейное разностное уравнение асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все нули его характеристического многочлена лежат внутри единичного круга. Э.И. Джу-ри [8] () изучал расположение корней полинома на комплексной плоскости относительно единичной окружности и применял полученные результаты для исследования устойчивости линейных дискретных систем. Ю.И. Неймарк [, ] (, ) исследовал расположение корней многочлена с помощью метода D-разбиения, используя этот подход к исследованию устойчивости непрерывных динамических систем управления. Метод D-разбиения применялся в работах А. Н. Вишнякова, Б. Т. Поляка [3, ] (, ), Е. Н. Грязиной [5, ] (, ) для исследования устойчивости дискретных систем управления. Поскольку в одной биологической нише обитают различные биологические виды, на динамику популяции неизбежно оказывают воздействие и особи других популяций. Поэтому целесообразен переход от уравнения (0. Л,- действительные матрицы размера (т х га) (—к ^ г ^ -1); хп : N -> Кт. Здесь компоненты вектора хп обозначают либо численность различных популяций, либо численность различных страт одной популяции |6], либо численность особей одной популяции, находящихся в разных ареалах []. Вектор хп в этом случае называется демографическим вектором [. Что касается матричных уравнений, И. О. Левицкая [] в г. В. Здесь В действительная матрица размера (га х т), хп : N —> Еш, к Е N. Для частного случая уравнения (0. В размера (2 х 2) есть матрица поворота, умноженная на положительную константу, критерий асимптотической устойчивости был найден [] в г. В работе [1| получены достаточные условия устойчивости уравнения (0. А, В перестановочны, изучался в работе И. Диблика и Д. Хусайнова [] (). И. Петропоулоу и П. Сиафа-рикас в г. Автору диссертации не известны другие работы, в которых бы исследовалась асимптотическая устойчивость матричных уравнений (0. Поэтому наша задача — перенести признаки асимптотической устойчивости скалярных уравнений (0. Мы, разумеется, ставим задачу указать характеристическое полиномиальное уравнение для системы (0. Но основная паша задача состоит в получении достаточных признаков устойчивости, носящих простой, ясный характер, — то, что по-английски называется explicit stability conditions. Такого же типа задачу мы ставим в связи со скалярным уравнением (0. В г. К. Кука и И. О