Математическое моделирование динамических процессов в пространственно-неоднородных биологических системах

• Автор: Макаров, Сергей Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 117 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАЗВИТИЯ ИШЕМИЧЕСКОГО ИНСУЛЬТА
1.1. Моделируемая система
1.1.1. Система клеток головного мозга
1.1.2. Развитие ишемического инсульта
1.2. Обзор математических моделей
1.3. Принципы настоящей модели
1.3.1. Моделирование ионных токов через клеточную мембрану
1.3.2. Моделирование кальциевой сигнализации между астроцитами
1.3.3. Моделирование синаптической связи между нейронами
1.3.4. Моделирование диффузии ионов в межклеточном пространстве
1.4. Общая математическая постановка задачи
1.5. Заключение (по Главе 1)
ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ И МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
МОДЕЛИ РАЗВИТИЯ ИШЕМИЧЕСКОГО ИНСУЛЬТА
2.1. Исследование задачи о диффузии вещества в межклеточном пространстве
2.2. Численный метод решения системы уравнений математической модели
2.2.1. Формулировка метода
2.2.2. Оценка арифметической сложности метода
2.3. Метод ускорения решения неоднородного уравнения диффузии
2.3.1. Формулировка метода
2.3.2. Оценка погрешности метода для задачи произвольной размерности
2.3.3. Численная оценка погрешности метода для модельных задач
2.3.4. Применение метода для моделирования развития ишемического инсульта
2.4. Ускорение численного решения с помощью пренебрежения малыми значениями функции Грина
2.5. Заключение (по Главе 2)
ГЛАВА 3. КОМПЬЮТЕРНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИ РАЗВИТИЯ ИШЕМИЧЕСКОГО ИНСУЛЬТА. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
3.1. Принципы создания комплекса программ
3.1.1. Реализация модели на персональном компьютере
3.1.2. Принципы реализации модели на параллельных вычислительных машинах
3.2. Результаты моделирования

3.2.1. Физиологические условия
3.2.2. Патологические условия
3.3. Заключение (по Главе 3)

ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННОГО ТРАНСПОРТА НА БИОЛОГИЧЕСКОЙ МЕМБРАНЕ
4.1. Описание моделируемой системы и обзор моделей
4.2. Описание модели
4.2.1. Основные положения
4.2.2. Компоненты модели
4.2.3. Сравнение с экспериментальными данными
4.2.4. Реализация модели
4.3. Результаты и обсуждение
4.4. Заключение (по Главе 4)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Описание ионных каналов, рассмотренных в модели развития ишемического инсульта
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Уравнения и параметры модели кальциевой сигнализации в астроцитах
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
В диссертации предлагаются новые математические модели динамических процессов в двух типичных пространственно-неоднородных биологических системах, а именно: ставится и решается математическая задача о моделировании динамики системы клеток головного мозга в условиях ишемического инсульта, а также задача о моделировании транспорта электронов вдоль биологической мембраны во время
фотосинтеза. Проводится исследование этих моделей и предлагается численная и программная реализация соответствующих математических задач.
Актуальность работы. Математическое моделирование в биологии -стремительно развивающаяся область науки, темпы развития которой определяются быстрым прогрессом в областях вычислительной техники, численных методов решения математических уравнений, а также
совершенствованием экспериментальной техники, позволяющей определить значительное число параметров биологических систем. Математические модели биологических систем, рассматриваемых в диссертации, обычно подразделяются на модели гомогенные и гетерогенные (в их стационарном или динамическом вариантах), и эти модели получаются главным образом в рамках следующих общепринятых подходов.
Первый подход заключается в усреднении переменных по пространству и рассмотрению системы как гомогенной. Такие модели
называют кинетическими. Математически они представляют собой
совокупность систем обыкновенных дифференциальных уравнений относительно усредненных значений исследуемых переменных. В частности, в недавних работах М.-А. Dronne, G. Chapuisat, Е. Grenier была представлена кинетическая модель поведения клеток головного мозга в условиях инсульта. Модель хорошо описывала изменение состояния клеток в эпицентре зоны поражения, в условиях сниженного кровотока. Однако медицинский интерес не ограничивается этими клетками. Важным является и описание пространственного развития поражения на соседние области, в том числе и на те, кровоток в которых не нарушен. Зачастую необходимо определить пространственные характеристики зоны поражения, и в этом случае кинетические модели являются недостаточно информативными.
Рядом известных авторов, таких как А. Б. Рубин, Г. Ю. Ризниченко, D. Lazar, Govindjee и другие, были построены подробные кинетические модели процессов электронного транспорта вдоль мембраны во время фотосинтеза. В моделях рассматривалось значительное количество различных состояний белковых комплексов, расположенных в мембране. Модели продемонстрировали хорошее сходство результатов с экспериментальными данными, в первую очередь касающимися измерений интенсивности флуоресценции от зеленых листьев, освещаемых после длительного пребывания в темноте. Вместе с тем, известно, что тилакоид — компартмент внутри хлоропласта, на мембране которого происходит

,(г,д)~Щ, = -(ІТ/ч(и,(гу,т...,и5(г],т}т+,,...,м>5,УМг,. М - г)

м+м *

+ £ І^/Дм,(гі,г)!...,и5(гі,г),і^1,...,м'5,кХ?(гу,г(1,?-г)
Ы,k*J о
і = 1,...,5, у' = 1,...,ІУ + М. Итого, с учетом (2.6) систему (2.4) можно переписать в виде
(2.6)
и,(г7,і)-м0, =-^сіь (іт(а,(г(,г)...,л5(г,,г)і+,,...,і+5,V)з(гу,я, 1 - г)
Г / ч
X 1 /л («і (г*»4-.К5 (г*, г), И-!і+5, Г)о(г , г*, / - т)
/ = 1,...,5, у = 1,..., N + М.
k=,kФJ о
^(иу,г)=-/І/(и,,...,м5,і+1,...,і+5,К), г' = 1,...,5,у=1,
’^)= — Уі 7+Л' (МІ 1+і,..., 1+5, К)+ (і+р^! ,...,^3),
= 1,...,5,у = 1,...,М, (2-7)
^ (ЯД^) — (И1...,1+! ,..., 1+5 ,^1,..., д'з , І7), і —1,...,3, 7 — 1,..., А/,
Х-,іг,(иу,?)=Є„. 7 = 1,--,#,

+ начальные условия.
2.2. Численный метод решения системы уравнений математической модели
2.2.1. Формулировка метода
Для численного решения системы (2.7) воспользуемся конечноразностной схемой, выбрав небольшой шаг по времени т. Пусть известны значения на предыдущем шаге по времени и‘~т (гу), м>‘~т {пу), ш' {а/), с/1'7 (ау), У‘ т(п,), ^/' т(а] )■ Значения переменных и' (г,), и1' {п}),и/ («,), я[ {а,) на
следующем шаге по времени можно выразить из системы (2.4) явно, воспользовавшись явной разностной схемой. Ввиду значительного числа уравнений быстрота вычислений приоритетна по отношению к безусловной