Непрерывный аналог метода Ньютона в обратной задаче теории рассеяния

• Автор: Козлова, Ольга Викторовна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 102 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ.

1.1. Краевая задача теории рассеяния. Вспомогательные предложения.

1.2. Решения , и рх,к. Существование, связь.

1.3. Фазовое уравнение

1.4. Задача рассеяния как нелинейное операторное уравнение 0,

ТУ 0.

1.5. Обратная задача рассеяния. Классическая постановка. Обзор основных результатов

1.6. ОЗР в терминах фазовых функций. ОЗР как нелинейное операторное уравнение.

ГЛАВА 2. НЕПРЕРЫВНЫЙ АНАЛОГ МЕТОДА НЬЮТОНА В ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ.

2.1. Описание метода
2.2. Построение решения обратной задачи рассеяния.
2.3. Решение интегрального уравнения
2.4. Наличие дискретного спектра. Вычисление собственных значений
ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ И ЭКСПЕРИМЕНТЫ
3.1. Вычисление потенциала без собственных значений.
3.2. Вычисление потенциала с собственными значениями
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА


Использование этих результатов для решения задачи математической обработки экспериментальных данных по рассеянию связано с определенными трудностями. Математический аппарат, применяемый в этих работах довольно сложен, что затрудняет проведение численных расчетов на основе этих работ. Кроме того, обратная задача рассеяния является неустойчивой к погрешности входных данных, то есть некорректно поставленной. Это делает необходимым применение методов регуляризации при приближенном решении нелинейных уравнений первого рода и построение регуляризирующих алгоритмов [,]. Наибольшую эффективность при численном решении задач этого круга показал непрерывный аналог метода Ныотона[], применявшийся в случае отсутствия связанных состояния. В практических задачах связанные состояния, как правило присутствуют. Поэтому весьма актуальна задача разработки численных методов решения задачи в этом случае. Актуальность проблематики подтверждает также интерес к обратной задаче рассеяния математиков и физиков из разных стран, о чем свидетельствуют публикации в мировой математической печати. На языке обратных задач формулируется описание многих реальных явлений. В настоящее время издается журнал, специально посвященный проблемам обратных задач «Inverse Problems». Целью диссертационной работы является разработка алгоритма и эффективной численной схемы решения обратной задачи рассеяния при наличии собственных функций и собственных значений. Научная новизна и значимость. В отличии от изестных результатов других авторов в диссертации обосновано изменение порядка процедуры предельного перехода по временному параметру непрерывного аналога метода Ньютона и процедуры дифференцирования «фазовой функции» при построении уравнения Фредгольма I рода для решения. Практическая ценность работы. Разработанные в диссертации алгоритмы могут применяться в задачах квантовой механики, мезомолекулярной физики и теории ядра. Использование метода введения непрерывного параметра и метода регуляризации, развитых в диссертации, для решения обратной задачи теории рассеяния позволяет при определении радиальной зависимости потенциала избежать предположений о конкретной аналитической зависимости потенциала от расстояния между взаимодействующими частицами. Это дает возможность использовать этот факт при решении задачи упругого рассеяния нуклонов нуклонами (и решать задачу о нахождении потенциала системы двух нуклонов в более общем виде), в теории солитонов. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 8 наименований. В ней имеется рисунка и 6 таблиц. Общий объем диссертации составляет 2 страницы. Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели исследования, излагается краткое содержание каждой главы. В первой главе изложена классическая постановка прямой задачи, даны основные понятия и определения, которые использовались в работе. Приведены постановки обратной задачи рассеяния, необходимые для изложения наших результатов в диссертации. Отмечены трудности на пути восстановления потенциала - обсуждается проблема единственности решения и проблема его устойчивости. Дан обзор основных результатов обратной задачи теории рассеяния. В первом параграфе обсуждается формулировка прямой задачи, дается общий обзор основных понятий терии рассеяния: фаза рассеяния, амплитуда рассеяния. Приведены рассуждения, помогающие понять основные особенности спектра сформулированной задачи. Прямая задача состоит в решении уравнения Шредингера, определяющего движение частиц под действием сил при заданном потенциале. В работе рассматривается задача для случая / = 0. Л'Р(х)+у(х)Ч/(х) = к2х? А^к) называется амплитудой, а (к) - фазой рассеяния или сдвигом фазы. Это условие называем основным условием, и всюду в дальнейшем в работе считаем выполненым. Во втором параграфе собраны сведения о решениях задачи (0. Приведены результаты Марченко В. А. [], который доказал что даные рссеяния определяют однозначно задачу (0. Им были найдены необходимые и достаточные условия. Начальные условия (0. При выполнении условия (0. Йоста. Ь:+Х*Д)]/& (*-параметр). Нт у(х,к) = В(к).