Нелинейные модели оптимизации и их конечномерные аппроксимации для эллиптических уравнений с управлениями в коэффициентах

• Автор: Манапова, Айгуль Рашитовна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 142 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Постановка задач и их корректность

1.1 Постановка задач.

1.2 Физическая интерпретация задач , А, Ар .

1.3 Разрешимость экстремальных задач Л, А1, А Ар

2 Разностная аппроксимация задач управления. Корректность аппроксимаций

3 Оценки погрешноси и скорости сходимости сеточных задач А, А, А2 А2р по состоянию

4 Оценки погрешности сеточного функционала, скорости сходимости аппроксимаций по функционалу, сходимость по управлению

4.1 Оценка погрешности сеточного функционала

4.2 Оценка скорости сходимости аппроксимаций по функционалу.

Сходимость ио управлению.
5 Регуляризация аппроксимаций
6 Алгоритмы численного решения сеточных аппроксимаций задач оптимизации
6.1 Дифференцируемость сеточного функционала 7лФе.
6.2 Дополнительные свойства функционала ЛФл. .
6.3 Граднентные методы
6.4 Метод, основанный на комбинации штрафных функционалов
и градиентных методов. Метод локальных вариаций ХукаДживса.
Заключение
Литература


Оценки точности и сходимость по управлению получены без дополнительных априорных предположений о гладкости обобщенных решений для состояний процессов управления (при той естественной, иезавышеииой степени гладкости входных данных и управлений, при которых гарантируются теоремы о обобщенной разрешимости как задач для состояния в классах Соболева, так и задач управления). Проведена регуляризация предложенных аппроксимаций, позволяющая, на основе полученных результатов, строить минимизирующие последовательности для функционалов цели нелинейных задач оптимального управления, сильно сходящиеся в пространствах управлений к множествам точек минимумов функционалов исходных постановок. Все полученные результаты о сходимости конечномерных аппроксимаций не зависят от способа решения конечномерных сеточных задач оптимального управления. Разработаны эффективные алгоритмы численного решения конечномерных сеточных задач оптимального управления, аппроксимирующих исходные нелинейные задачи оптимального управления. Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы при изучении теории численных методов решения УМФ, теории и численных методов решения задач оптимального управления для УМФ. Методика исследования конечномерных разностных аппроксимаций, применявшаяся в диссертации, может быть использована при изучении конечномерных аппроксимаций нелинейных оптимальных процессов, описываемых другими краевыми задачами. Сужение же, например, множества допустимых управлений (как это иногда делается) может быть крайне нежелательным, так как это существенно изменяет постановку задачи, снижая практическую ценность оптимизационной модели. Разработанный и обоснованный в работе метод конечномерных сеточных аппроксимаций для нелинейных задач оптимального управления носит конструктивный характер, обладает универсальностью, гибкостью и модульностью - качествами, которые требуются от методов, реализуемых при проведении вычислительных экспериментов, соответствующих структуре и возможностям современных ЭВМ. Полученные результаты о сходимости аппроксимаций не зависят от выбора метода решения конечномерных аппроксимирующих задач, что обеспечивает автономность выбора численных методов реализации аппроксимаций на практике и в этом смысле ставит разработанный метод в выгодное положение. Построенные нелинейные модели оптимального управления, а также разработанные и обоснованные методы конечномерных аппроксимаций могут найти широкое применение при оптимизации и численном исследовании таких систем управления, где доминирующими являются процессы переноса тепла, диффузии, фильтрации, конвекции-диффузии-реакции и др. Нелинейности задач для состояний в математических моделях оптимизации могут быть обусловлены интересными для практики случаями: наличием стоков субстанции (например, диффузия вещества в активных средах с поглощением вещества по нелинейному закону, в которых диффундирующее вещество вступает в химические реакции со средой, сопровождающиеся нелинейным стоком субстанции), биохимическими процессами и др. Нелинейные модели оптимального управления, в которых нелинейности обусловлены вхождением управлений в переменные коэффициенты уравнений состояния и/или нелинейностью самих уравнений состояний имеют большую прикладную важность. Результаты работы внедрены в учебный процесс кафедр вычислительной математики и математического моделирования Башгосупиверситета. Структура н объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, разбитых на пункты, заключения, приложения и списка литературы. Объем диссертации, исключая приложение, составляет 1 страницу. Список литературы содержит 1 наименование. Управляемые детерминированные системы (физические, механические и т. IV -пространство состояний управляемой системы. Для каждого управления д ? Я элементами (состояниями, функциями состояний управляемых систем) и = йд 6 XV в конкретных системах являются решения уравнений математической физики, определяющие "модель"системы. Задачи оптимального управления можно сформулировать как задачи минимизации некоторого функционала качества Я, зависящего от состояния системы и = (7# ? Я(С<7,<7)-+ Ы, д ? Я, (0.