Численное исследование моделей электрических вибраторов, описываемых гиперсингулярными интегральными уравнениями

• Автор: Тарасов, Дмитрий Викторович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Пенза
• Количество страниц: 221 с. : ил.

Введение.

Глава 1 Постановка задачи, обзор и вспомогательные

утверждения

1.1 Методы интегральных уравнений в радиотехнике.

1.2 Классы функций.

1.3 Определения сингулярных и гиперсингулярных интегралов

1.3.1 Определения одномерных сингулярных и гиперсингулярных интегралов.

1.3.2 Определения полигиперсингулярных и

многомерных гиперсингулярных интегралов

1.4 Постановка задачи построения оптимальных алгоритмов вычисления гиперсингулярных интегралов
1.5 Обзор приближенных методов вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов и решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений
1.5.1 Приближенное вычисление сингулярных и гиперсингулярных интегралов.
1.5.2 Приближенные методы решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений .
1.6 Вспомогательные утверждения
1.6.1 Понятие корректности и некорректности
1.6.2 Критерии регулярности
Глава 2 Применение гиперсингулярных интегральных уравнений к численному моделированию электрического вибратора .
2.1 Введение.
2.2 Постановка задачи
2.3 Приближенное решение уравнения Поклингтона
2.4 Уравнение Галлена.
2.5 Границы применимости уравнения Галлена
2.6 Гиперсингулярные интегральные уравнения теории электрических вибраторов.
Глава 3 Приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов
3.1 Приближенные методы вычисления одномерных сингулярных и гиперсингулярных интегралов с подвижной особенностью.
3.2 Приближенные методы вычисления одномерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью .
3.3 Построение аналитических способов вычисления полигиперсингулярных и двумерных гиперсингулярных интегралов.
3.4 Приближенное вычисление двумерного гиперсингулярного интеграла по треугольной области.
3.5 Приближенное вычисление многомерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью на границе области
Глава 4 Приближенные методы решения сингулярных и
гиперсингулярных интегральных уравнений.
4.1 Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений
4.2 Приближенное решение гиперсингулярного интегрального уравнения моделирующего электрический вибратор
4.3 Приближенные методы решения двумерных гиперсингулярных интегральных уравнений
4.3.1 Сплайнколлокационный метод.
4.4 Проекционные методы решения уравнения Гельмгольца . .
4.4.1 Приближенное решение слабосингулярных интегральных уравнений первого рода.
4.4.2 Приближенное решение граничной задачи Дирихле
для уравнения Гельмгольца.
Заключение
Список использованных источников


Таким образом, вопросы касающиеся построения вычислительных методов решения внутренней задачи носят актуальный характер. В последнее время для решения уравнений Галлена и Поклингтона, описывающих электрический вибратор, применяется аппарат сингулярных интегральных уравнений . В общем случае, модель предполагающая вибратор достаточно тонким может быть сведена к сингулярным интегральным уравнениям что и естественно в силу тонкого электрического вибратора, для решения которых требуется построение соответствующих численных алгоритмов желательно оптимальных вычисления сингулярных и гипсрсингулярных интегралов, а также алгоритмов решения уравнений с ними. Вопросам решения уравнений Галлена и Поклингтона в общем случае, а также проблеме сведения этих уравнений в предельном случае бесконечно тонкий вибратор к гииереингулярныи интегральным уравнениям, и вопросам посроения эффективных методов их решения и посвящена данная диссертация. При построении н обосновании методов вычисления, получении квадратурных формул и оценок для них, из всего множества функций приходится выделять узкие классы функций. В этом разделе описываются как стандартные классы функций Гельдера, Липшица, так и многие другие, которые используются в работе. Определение 1. Пусть гладкая кривая и i функция точек этой кривой. Функция удовлетворяет на кривой условию Гельдера НаА, если для любых двух точек и i этой кривой i А а, где А,а полоэсителъпые числа. Константа А называется постоянной Гельдера, а а показателем Гельдера. Определение 1. Пусть функция х задана на действительной оси. Определение 1. Класс 1УГ1 г натуральное число состоит из функций, заданных на отрезке а, 6, непрерывных и имеющих непрерывные производные до г 1 го порядка включительно и кусочнонепрерывную производную гго порядка, удовлетворяющую па этом отрезке неравенству х 1. Определение 1. Обозначим через 1УГ1,Г1,1 класс функций фх 1,. О, ц, . Чх л. Эх. СП 1, 1 гч г4 1, 2,3,. Ч1,г1Жь а7п 1, 1 г П 1, 1,2,. Здесь и гь. VI . VI. Пусть П аь . Определение 1. Через С1,Г2 обозначим класс функций I независимых переменных, у которых существуют и ограничены по модулю единицей все частные производные до гго порядка включительно. Если известна область П определения функций из класса С1,П, то для простоты обозначений будем писать С1. Рассмотрим интеграл

1ту а Ь. Известно, что этот интеграл не может быть вычислен ни в смысле Римана, ни в смысле Лебега. Этот особый интеграл 1. Коши ввел новый тип интегралов так называемые интегралы, понимаемые в смысле главного значения но Коши. Исторически определение интегралов в смысле главного значения по Коши являются одним из первых методов регуляризации расходящихся интегралов. Определение 1. Покажем, что если функция на сегменте а, Ь удовлетворяет условию Гсльдера НаА с показателем а 0 а 1 и коэффициентом А, т. Ах Х2а, то интеграл 1. В самом деле, из определения интеграла в смысле главного значения по Коши следуют его однородность и аддитивность. О с
дт
т с
Первый из интегралов в правой части предыдущего равенства есть несобственный интеграл Римана. Это следует из неравенства т СТ С1 Ат сат с Ат с1 и критерия Коши существования несобственных интегралов СО. Второй интеграл из правой части равенства 1. Равенство 1. Определим теперь главное значение по Коши особого интеграла на криволинейном контуре. Ь гладкая кривая в плоскости комплексной переменной г. Проведем из точки контура, как из центра, окружность радиуса г, и пусть х, 2 точки пересечения этой окружности с кривой Ь. Радиус г будем считать настолько малым, чтобы окружность не имела с контуром Ь других точек пересечения кроме и и. Обозначим часть контура Ь, вырезанного окружностью, через и возьмем интеграл по оставшейся ДУге
Определение 1. Предел интеграла при г
называется главным значением по Коши особого интеграла дт. Очевидно, что если интеграл существует в обычном
римановом смысле, то существует и главное значение но не обратно. Поэтому главное значение интеграла мы будем обозначать тем же символом, что и обычный интеграл, подразумевая, что если интеграл не имеет обычного смысла, то рассматривается его главное значение.