Метод численного определения осредненных характеристик композитов на основе вейвлет-преобразования и метода конечных элементов

• Автор: Сагдеева, Юлия Альбертовна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 124 с. : ил.

Содержание
Введение

I. Методы получения эффективных характеристик композитов

1.1. Методы экспериментального определения модулей

1.2. Уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами. Понятие об эффективных характеристиках.

1.2.1. Моделирование напряженнодеформированного состояния .

1.2.2. Моделирование стационарного теплового

поля и фильтрации жидкости.

1.3. Теоретические оценки.

1.4. Численные методы определения оценок

И. Многомасштабный анализ на основе вейвлетпреобразоваг Хаара и метода конечных элементов
2.1. Вейвлеты и их свойства.
2.2. Многомасштабная декомпозиция функций
2.3. Численное вейвлетосреднение.
2.3.1. Вейвлетосреднение на основе метода конечных разностей
2.3.2. Вейвлетосреднение на основе метода конечных элементов
2.4. Двумерное вейвлетпреобразование.
2.5. Получение осредненных характеристик композитов с помощью вейвлетпреобразования.
III. Вейвлетосреднение в некоторых задачах теории упругости, теплопроводности и фильтрации
3.1. Дифференциальная и конечноэлементная постановка .
3.2. Одномерное вейвлетосреднение.
3.3. Двумерное вейвлетосреднение
3.3.1. Осреднение в задачах фильтрации
3.3.2. Осреднение в стационарной задаче теплопроводности
3.3.3. Осреднение в задачах теории упругости
IV. Вычислительные особенности и программная реализация
в многомасштабном анализе
4.1. Структура матриц
4.2. Способы повышения вычислительной эффективности схемы вейвлетпреобразования.
4.3. Объектноориентированная модель вейвлетпреобразования.
Заключение
Список литературы


Санчес-Паленсии [6] и А. Бенсусана [7]. Однако, в данном случае необходимо решение задач в классе функций периодических на ячейке, что осложняет реализацию данного метода. Лишь в случае определенной симметрии исследуемого образца периодические граничные условия можно заменить непериодическими краевыми условиями. Недостаточность классических методов осреднения побуждает развивать новые математические подходы. Основу одного из подходов составило использование вейвлетов — класса базисных функций, которые применяются в цифровой обработки сигналов, при сжатии информации, распознавании образов и др. Одно из главных преимуществ вейвлет-преобразования заключается в возможности получать представление величин на интересующем уровне масштаба. С помощью вейвлет-преобразования можно получить осредненное представление функции (грубый масштаб - «низкое разрешение») и выделить ее локальные свойства (мелкий масштаб - «высокое разрешение»). Данное свойство преобразования позволяет ввести многомасштабный анализ исследуемой функции или анализ с переменным разрешением. Свойства вейвлетов позволяют предположить, что вейвлет-преобразование будет полезным и при осреднении решений уравнений в частных производных. Цель работы. Методы исследований. Используется математический аппарат статической теории упругости, стационарной теории теплопроводности и теории фильтрации, теория дискретного вейвлет-преобразования, теория метода конечных элементов, методы линейной алгебры, феноменологические модели механики композитов. Достоверность и обоснованность результатов. Достоверность полученных в работе результатов и выводов подтверждается сравнением с известными данными экспериментальных и теоретических исследований других авторов, тестированием численных алгоритмов и программного комплекса на решениях модельных задач. Научная новизна. Численным моделированием получены осредненные значения модуля Юнга, коэффициента Пуассона, коэффициентов теплопроводности и проницаемости в одномерном и двумерном случаях для композитов со случайной структурой, материалов с включениями разной формы (квадратные, круглые и ромбические включения), разной объемной долей (объемная доля включений составляла от 7% до %), различного взаимного расположения включений (симметричное и несимметричное), когда свойства составляющих компонент композита различаются на порядки. Теоретическая и практическая ценность. Получаемые осредненные решения дифференциальных уравнений могут использоваться в качестве приближений к точному решению, когда необходимо знать глобальное поведение решений (например, такое приближение на грубых сетках используется в многосеточных методах решения дифференциальных уравнений и при построении предобусловливателей для решения систем алгебраических уравнений). Апробация работы. Основные положения диссертационной работы обсуждались на следующих научных конференциях: Всероссийской молодежной школе-конференции «Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач», июня - 1 июля , Казань; Конференции молодых ученых ФТИ УрО РАН «КоМУ-», 8- декабря , Ижевск; VI International Congress on Math. Modeling, - сентября , Нижний Новгород; Международной конференции по избранным вопросам современной математики, 4-8 апреля , Калининград; Зимней школы по механике сплошных сред, февраля - 3 марта , Пермь; -й Всероссийской школы-конференции молодых ученых, 4 октября - 7 октября , Пермь; III научно-практической конференции «Проблемы механики и материаловедения», - июня , Ижевск; Научной конференции «Теория управления и математическое моделирование», 3-8 июля , Ижевск; Всероссийской молодежной школе-конференции «Численные методы решения задач математической физики», июня 1 июля , Казань; IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, - августа , Нижний Новгород; Зимней школе по механике сплошных сред, февраля - 3 марта , Пермь. Публикации. По теме диссертации опубликовано печатных работ. Из них в рецензируемых журналах 4 работы, в журналах, рекомендованных ВАК, 1 работа.