Алгоритмическое и программное обеспечение для численного решения задач электромагнитного рассеяния на диэлектрике

• Автор: Сотникова, Наталья Юрьевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 127 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

1. Задача электромагнитного рассеяния на диэлектрике

1.1. Постановка задачи

1.2. Расчетная вычислительная сетка

2. Итерационные методы для решения задач электромагнитного рассеяния

2.1. Решение задач методом простой итерации

2.2. Обобщение метода простой итерации

2.3. Оптимальный итерационный параметр для сходимости МОПИ

2.4. Метод релаксации

3. Разработка алгоритмов и программ для решения интегральных уравнений задач рассеяния волн с помощью МОПИ
3.1. Алгоритмы определения оптимального итерационного параметра для различных практически важных случаев области локализации спектра матрицы
перехода
3.2. Описание подпрограмм определения оптимального параметра
3.3. Описание подпрограммы МОПИ для решения систем линейных уравнений
4. Численные исследования
4.1. Двумерные скалярные задачи рассеяния
4.2. Двумерные векторные задачи рассеяния
4.3. Трехмерные векторные задачи рассеяния
4.4. Исследование задач рассеяния на диэлектрике с помощью борновского приближения
4.5. Двумерные краевые задачи электростатики
Заключение
Литература
Приложение
Приложение
Сотникова Наталья Юрьевна. Диссертация на соиск. уч. ст. канд. техн. наук. Москва 2

Введение
Диссертационная работа посвящена разработке алгоритмического и программного обеспечения для численного решения задач двумерного и трехмерного рассеяния и поглощения электромагнитных волн рэлеевского и резонансного диапазонов на неоднородном диэлектрическом теле. Указанные задачи являются объектом исследования многих специалистов. Это обусловлено тем, что подобные задачи имеют большое значение для практики, например, при проектировании диэлектрических антенн, при взаимодействии электромагнитного поля с биологическими объектами, при дистанционном обнаружении дислокаций в кристаллах и так далее. Математическое моделирование взаимодействия электромагнитного поля с диэлектрическими структурами значительно облегчает разработку устройств, а в ряде случаев является единственно возможным, например, при взаимодействии поля с биологическими объектами.
Указанные задачи описываются интегральными уравнениями относительно электрического поля в диэлектрическом теле. Для численного решения интегральные уравнения необходимо дискретизировать и свести к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных значений электрического поля в узлах расчетной сетки. Поскольку размерность СЛАУ N очень велика, особенно для трехмерных задач, то использование прямых методов типа метода Гаусса практически невозможно, так как это требует порядка N3 арифметических операций, а значит возможно использование только итерационных методов.
Указанные задачи изучались в работах отечественных ученых - А.Б. Са-мохина, С.П. Куликова, Ю.Г. Смирнова, В.И. Дмитриева, A.C. Ильинского, Е.В. Захарова [1-7] и других отечественных и зарубежных специалистов. В данной работе мы основываемся на полученных ими результатах.
Сотникова Наталья Юрьевна. Диссертация на соиск. уч. ст. канд. техн. наук. Москва 2

При использовании итерационных методов решения СЛАУ наблюдается значительный выигрыш по числу арифметических операций и объему оперативной памяти, требуемых для реализации алгоритмов. По сравнению с методом Гаусса время решения задачи будет в N / т раз меньше, где т ~ требуемое число итераций. Таким образом, решение СЛАУ размерностью М» 1000 становится реально осуществимой задачей для персональных компьютеров.
Поэтому разработка и программная реализация быстросходящихся итерационных алгоритмов, предназначенных для численного решения задач рассеяния электромагнитных волн на диэлектриках, является актуальной.
Целью работы является разработка алгоритмического и программного обеспечения для численного решения интегральных уравнений, описывающих задачи рассеяния электромагнитных волн на диэлектрических структурах, с использованием метода оптимальной простой итерации (МОПИ), а также проведение численных расчетов с использованием разработанного комплекса программ для двумерных и трехмерных задач.
В соответствии с целью работы поставлены следующие научные задачи:
• Исследование спектра рассматриваемых интегральных уравнений для различных классов задач.
• Алгоритмы нахождения оптимальных итерационных параметров для МОПИ.
• Разработка алгоритмов и подпрограмм, основанных на МОПИ, для решения СЛАУ, возникающих после дискретизации интегральных уравнений.
• Численные решения двумерных скалярных, а также двумерных и трехмерных векторных задач.
Сотникова Наталья Юрьевна. Диссертация на соиск. уч. ст. канд. техн. наук. Москва 2
Определим сумму операторов С = А + В как оператор, имеющий матрицу С = А + В, равную сумме матриц, а умножение оператора на число сВ, как оператор, имеющий матрицу сВ.
Оператор В, определенный таким образом, обладает свойствами, существенно отличными от свойств матрицы. А именно, он нелинеен при сложении с другим оператором (А + В)х Ф Ах + Вх, а также нелинеен при умножении оператора на константу (сВ)х Ф с(Вх).
В частности, для оператора, который будет использоваться в дальнейшем, В + к1, где /- единичный оператор, {В + к1)хФ Вх + кх. Как следствие этого, спектр оператора В + к1 не является линейным сдвигом спектра оператора В. Действительно, для компонент вектора Ах получаем

X а. .х . + 2л, / =

^2,1 ( 2 а Д,- +Д)+ I «2 ,-х,-+22’ ' =
у = 1 у = 2 ]
' “3.1(: Л/у + *Т)+ “3.2 '“2,1 < |, »1,/у + г1 >+ .5 »2,/у)+ г2 + | »3,Л + '
у — 1 2 — і 7 — ^ 7 — ■>
1-І п
I a^ jXj+ 2 aljXj+Zl, /=/, /=2,3,...,«
7=1 ’ 7=/
(2.2.10)
Здесь Зс. - всё выражение, стоящее в формуле на у -1 строке.
Сотникова Наталья Юрьевна. Диссертация на соиск. уч. ст. канд. техн. наук. Москва 2