Комбинированный алгоритм двустороннего приближения к экстремуму функционала энергии в задачах нелинейной гетерогенной упругости

• Автор: Минеева, Наталья Валерьевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Комсомольск-на-Амуре
• Количество страниц: 115 с. : ил.

ВВЕДЕНИЕ
1. ОБЗОР ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ И ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1. Вариационные уравнения и вариационные принципы

1.2. Формулировка вариационной задачи и прямые вариационные методы расчета

1.3. Двойственные вариационные принципы и двусторонние оценки энергии

1.4. Двойственные принципы в механике гетерогенносопротивляющихся сред.

1.4.1. Модель гетерогенноупругой среды.

1.4.2. Основные определяющие соотношения модели.

1.4.3. Двойственные формулировки и энергетические принципы для гетерогенноупругих сред

1.5. Выводы по главе.

2. ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА РАЗМОРАЖИВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СВЯЗЕЙ И МЕТОДА ГИПЕРОКРУЖНОСТЕЙ ПРИ РЕШЕНИИ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.
2.1. Постановка плоской задачи теории упругости
2.2. Математические основы метода размораживания дифференциальных связей.
2.2.1. Применение метода размораживания дифференциальных связей к условию совместности
2.2.2. Применение метода размораживания дифференциальных связей к уравнениям равновесия.
2.3. Математические основы метода гиперокружностей.
2.4, Решение задачи деформирования тела собственным весом с использованием метода размораживания дифференциальных связей и метода гиперокружностей.
2.4.1. Постановка задачи.
2.4.2. Метод размораживания дифференциальных связей
2.4.3. Метод гипсрокружностей
2.4.4. Сравнение с решением в пакете МБС.Ыазп.
2.5. Выводы по главе
3. РАЗРАБОТКА КОМБИНИРОВАННОГО АЛГОРИТМА ДВУСТОРОННЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ К НИЖНЕЙ ГРАНИ ФУНКЦИОНАЛА И ПРОГРАММ ДЛЯ ЕГО ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ
3.1. Исследование связи между оценками, получаемыми двумя методами
3.2. Комбинирование методов размораживания дифференциальных связей и гиперокружностей при расчете разномодульного тела
3.2.1. Получение верхней оценки методом размораживания дифференциальных связей
3.2.2. Получение нижней оценки методом гипсрокружностей
3.2.3. Сопоставление верхней и нижней оценок.
3.3. Программная реализация комбинированного алгоритма
3.3.1. Программа для ЭВМ Применение метода размораживания дифференциальных связей для расчета оценок энергии линейной и нелинейной гетерогенной упругих сред
3.3.2. Программа для ЭВМ Применение метода гиперокружностей для расчета оценок энергии линейной и нелинейной гетерогенной упругих сред
3.4. Выводы по главе
4. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРАБОТАННОГО АЛГОРИТМА И ПРОГРАММ В ЗАДАЧЕ РАСЧЕТА ЖЕСТКО ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПО БОКОВЫМ СТОРОНАМ ДЛИННОЙ БАЛКИ.
4.1. Постановка задачи
4.2. Решение задачи для случая линейного закона упругости.
4.2.1. Применение к задаче метода размораживания дифференциальных связей.
4.2.2. Применение к задаче метода гиперокружностей
4.2.3. Сравнение решения, полученного с помощью комбинированного алгоритма, с решением в пакете М8С.Ыа1гап
4.3. Решение задачи для случая разномодульного закона упругости.
4.3.1. Получение верхней оценки методом размораживания дифференциальных связей.
4.3.2. Получение нижней оценки методом гиперокружностей
4.3.3. Сопоставление верхней и нижней оценок.
4.4. Выводы по главе.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА


Цель диссертационной работы разработка и реализация алгоритма получения двусторонних оценок нижней грани функционала Лагранжа при решении задач нелинейной гетерогенной разномодульной упругости. Практическая ценность работы. Разработанный алгоритм и программы позволяют решать задачи физически нелинейной гетерогенной упругости с одновременным получением апостериорной оценки погрешности решения. Достоверность полученных численных решений подтверждается прямым сравнением с решением для линейного случая по методу конечных элементов в пакете . ЕС между . ГОУВПО КнАГТУ от . Теоремы о двусторонних оценках экстремумов функционалов Лагранжа и Кастильяно комбинированным методом гиперокружностей и размораживания дифференциальных связей. Комбинированный алгоритм двустороннего приближения к нижней грани функционала энергии, позволяющий получать двусторонние оценки в рамках прямой постановки задачи физически нелинейной упругости. Разработка программного обеспечения, реализующего данный алгоритм. Апробация результатов. ПереславльЗалесский, г. КомсомольскнаАмуре, г. XXXI Дальневосточная математическая школасеминар имени академика Е. В. Золотова г. Владивосток, г. Всероссийская конференция Деформирование и разрушение структукнонеоднородных сред и конструкций г. Новосибирск, г. XV Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам г. Алушта, г. Публикации. Материалы диссертационного исследования опубликованы в 7 научных работах, получены 2 свидетельства о регистрации программ для ЭВМ. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Объем диссертации составляет 5 страниц, включая рисунка и таблицу. Список литературы содержит наименования работ отечественных и зарубежных авторов. Во введении и первой главе работы обоснованы актуальность выполненных в диссертации исследований, сформулированы цели работы, е научная значимость и практическая ценность, возможное применение, а также приведн краткий обзор литературы по текущему состоянию вариационных принципов механики сплошных сред в частности, гетерогенносопротивляющихся сред и теории преобразования вариационных проблем. Приводится формулировка вариационной задачи и отмечается, что применение прямых вариационных методов расчета ставит вопрос об оценке точности построенного приближенного решения. Представлены некоторые подходы к получению апостериорной оценки погрешности, основанные на идее двойственности. Анализируется возможность применения двойственного метода при численном решении задач нелинейной упругости, когда обращение определяющих соотношений можно получить лишь в неявном виде. Вторая глава посвящена установлению ограничений, возникающих при использовании алгоритмов двойственности метода размораживания дифференциальных связей Мосолов П. П., Мясников В. П. и метода гиперокружностей . Приведена математическая модель теории упругости в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных при заданных граничных условиях, а также в виде двойственных экстремальных задач для функционалов Лагранжа и Кастильяно соответственно. Подчеркнуто, что сложность решения поставленных вариационных задач заключается в необходимости построения достаточно широкого класса допустимых функций, что подразумевает разрешение дифференциальных связей. Рассматриваются два подхода к преодолению этой трудности метод размораживания дифференциальных связей и метод гиперокружностей. Была проверена степень отличия двусторонних оценок, получаемых данными методами. Для этого оба метода применялись к плоской задаче теории упругости. Рассматривалось призматическое тело, деформируемое собственным весом. Проведенные численные эксперименты показали количественную близость оценок, полученных методами гиперокружности и размораживания дифференциальных связей. Поскольку данная задача не имеет точного решения, данный вывод был проверен на решении по методу конечных элементов в пакете Сравнение показало хорошую согласованность КЭрешения и решений методами гиперокружности и размораживания дифференциальных связей.