Динамические модели рискового страхования со случайным периодом накопления

• Автор: Лукманов, Наиль Флерович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 110 с. : ил.

ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время математическое моделирование все глубже проникает во все сферы человеческой деятельности, в том числе и в страхование. Расширяется область область применимости результатов, полученных в страховой математике. Плоды теоретических исследований вызывают все большую заинтересованность практиков страхования. А в каждой крупной страховой компании есть штатные актуарии. Изменяется значимость страховой математики в странах с развитой рыночной экономикой страхование является одним из стратегических секторов экономики. Уровень развития страхования может служить одним из показателей развития экономики в целом. Например, рост платежеспособного спроса на страхование не может заметно обгонять рост экономики. Ведущие страховые компании становятся крупными инвесторами на рынке.
Страхование обеспечивает социальноэкономическую стабильность в обществе, так как гарантирует собственникам возмещение ущерба при гибели или повреждении их имущества и потере дохода, что играет важную роль для России.

Все это обуславливает актуальность и модность исследований в страховой математике.

К старейшим формам страхования можно отнести контракты в морских рисковых предприятиях, использованных вавилонянами, относящихся к периоду 3 тысячи лет до н.э. Позже практика подобных контрактов существовала у финикийцев, греков, римлян, индусов. В Средневековье, в ХУХУ1 веках, в период активных морских путешествий европейцы объединили понятия общий фондии риск. Владельцы судов и грузов ввели понятие распределения общего риска. Появились люди, которые за определенную плату соглашались компенсировать потери
владельцам судов или грузов, если данный корабль потерпит неудачу во время плавания. В году в Марселе был выдан первый страховой полис, обеспечивающий защиту морского груза, провозимого из Марселя в Триполи. В году, в Англии был создан первый государственный документ Парламентский Акт, регулирующий механизмы страхования Акт, касающийся случаев страхования среди торговцев.
В году, в Лондоне открылась кофейная, в которой страховщики собирались для обсуждения своих профессиональных проблем. Кофейня стала неким прототипом страхового рынка, а е владелец Эдвард Ллойд родоначальником страховых компаний. Дальнейшее бурное развитие страхового бизнеса было обусловлено развитием банковского дела и крупного промышленного производства.
Страхование в России на государственном уровне развивалось ещ со времн Екатерины И. В начале XIX века появляется страхование как вид коммерции. Первые страховые компании Саламандра, Россия, Российское общество и т. д. специализируются на страховании от огня. Вскоре появляются такие виды страхования как страхование имущества, страхование грузов, страхование от несчастного случая, долгосрочное страхование жизни.
Предполагается, что первая модель страхования была построена еще в г. Т.Барруа Т. Ваггав , а современные модели страхования восходят к Ф. Лундбергу. Б. ЬипбЬе, .

Основные задачи, решаемые в страховой математике

оценка оптимальной страховой премии, обеспечивающей высокую вероятность неразорения в течении фиксированного интервала времени в том числе и с выплатой дивидендов
нахождение оценок вероятности разорения функцией от начального капитала компании неравенство Лундберга
задачи, связанные с перестрахованием.
В настоящее время появляются работы, находящиеся на пересечении
финансовой и страховой математики, и можно прогнозировать увеличение числа таких работ в ближайшем будущем.
Актуальность


В страховой и финансовой математике существуют задачи, решение которых сводится к нахождению экстремумов процессов, изучаемых в теории вероятностей. Чаще всего это гауссовские, пуассоновские и сложиопуассоновские процессы. Во второй главе решается задача поиска вероятности неразорения филиала страховой компании в динамической модели при неограниченном росте среднего числа заключенных договоров страхования полисов в единицу времени. Данная задача была решена новым методом была сведена к
задаче нахождения вероятности превышения фиксированного уровня максимумом приращения винеровского процесса. Особую ценность представляет возможность применения данного метода при решении многих других задач страховой и финансовой математики. В третьей главе решается следующая задача найти вероятность, что в течение всего заданного интервала времени при неограниченном росте среднего числа проданных компаниями полисов за единицу времени, капитал одной страховой компании будет оставаться больше капитала второй и меньше капитала третей. Все компании имеют одинаковое распределение случайных моментов времени поступления страховых премий, размеров исков, промежутков времени с момента заключения договора до момента выплаты по иску. Решение такой задачи позволит оценить устойчивости рынка, на котором работают страховые компании. Эта задача была сведена к задаче определения вероятности нахождения одной винеровской траектории между двумя другими. Данный метод также может использоваться как эффективный инструмент для решения разнообразных задач, возникающих в страховой и финансовой математике. В частности, когда при моделировании рынка ценных бумаг используется винеровский процесс Такие модели описаны в . Объектом исследования в данной работе является капитал страховой фирмы при рисковом страховании. В работе рассматривается ряд динамических моделей рискового страхования, описывающих поведение капитала страховой компании. Процесс изменения размера капитала страховой компании можно назвать процессом риска. В первой главе рассматривается следующий процесс риска. Начальная величина фонда . Л 0 т. А имеет смысл среднего числа заключенных договоров в единицу времени. В работе применяется факторизационная модель С. Я. Шоргина . В рамках этой модели предполагается, что все договора страхования
являются однотипными. Тогда иски У независимые, одинаково распределенные случайные величины, допускающие представление У X, 1,2,. У 5. Относительные ущербы Хь независимые одинаково распределенные случайные величины, ЕХк х, Хк 2. Одинаковые по всем договорам страховые премии , поступающие в моменты времени соответственно, могут быть представлены как , страховая ставка. После. Xi x в резерв. Считаем, что страховая компания не может распоряжаться средствами резерва. В момент выплаты но иску отложенные с договора деньги возвращаются из резерва. Время с момента поступления по киу договору страхования первой и единственной страховой премии и до момента выплаты по иску здесь и далее будем называть период накопления т. Капитал страховой фирмы в момент времени Е О,Т в модели представляется в виде
Ло v x X . В 1. В 1. В 1. V упорядоченные возможные значения Тк. А адг1 . О, Рт а, р, i 1,2,. В 1. Во второй главе рассматривается следующая модель иски по договорам i i 1,2,. Филиал страховой компании производит выплаты по искам, а через некоторый интервал времени т компания компенсирует эти потери. В третьей главе объектом исследования является набор из трех процессов, являющихся моделями из 1. Капитал гой страховой компании Л, г 1,2,3, задается уравнением
4 x хР1
Количество заключенных договоров i пуассоновский процесс с параметром Л 0. Относительные ущербы Xi 1,2,3 1,2,. Начальный капитал модель 6. Предметом исследования в данной работе является процесс риска. Вопервых, для разных моделей проводится оценивание рисковых ситуаций. Иначе говоря, определяется вероятность разорения компании пересечение процессом нулевого уровня. Вовторых проводится сравнение нескольких процессов риска с разными начальными уровнями.