Построение и анализ математических моделей деформации упругих стержней с приложением к определению условий замкнутости молекул ДНК

• Автор: Тимошенко, Дмитрий Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Таганрог
• Количество страниц: 155 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Геометрические исследования деформации стержня двоякой кривизны с приложением к изучению пространственных конфигураций молекул ДНК

1.1. Основные соотношен ИЯ.

1.2. Уравнения оси стержня.

1.3. Геометрическое представление упругой линии

1.4. Вспомогательные утверждения.

1.5. Исследование условий замкнутости первичной структуры молекулы

1.6. Случай прямолинейного свободного состояния

1.7. Выводы
2. Математическая модель деформации естественно закрученного стержня с равными жсткостями на изгиб..
2.1. Первые интегралы уравнений Кирхгофа Джанелидзе
2.2. Построение аналога решения Лагранжа для естественно
закрученного стержня.
2.3. Анализ обобщнных зависимостей
2.4. Условия замкнутости сверхспирализованной молекулы ДНК для
обобщенного решения Лагранжа.
2.5. Выводы
3. Построение и анализ основных соотношений теории упругих стержней с моментым взаимодействием частиц
3.1. Исходные соотношения несимметричной теории
упругости.
3.2. Построение асимптотической модели.
3.3. Анализ соотношений нулевого приближения и редукция трхмерной
задачи к одномерной.
3.4. Исследование общих соотношений одномерной теории
стержней
3.5. Аналитическая форма условий замкнутости оси молекулы ДНК и
оценка влияния параметров моментных взаимодействий
3.6. Выводы.
4. Программный поиск нулей полинома без ограничений на вид
коэффициентов и его приложение к определению условий
замкнутости молекулы ДНК
4.1. Описание метода и комплекса программ вычисления нулей
полинома произвольной степени с коэффициентами общего вида.
4.2. Адаптация метода поиска нулей полинома на основе сортировки к математическим моделям деформации упругих стержней
4.3. Исследование зависимости вида замкнутых конфигураций стержня от значений параметров математических моделей.
4.3.1. Случай винтовой линии.
4.3.2. Случай прямолинейного исходного состояния стержня
4.3.3. Случай естественно закрученного стержня
4.4. Выводы.
Заключение.
Литература


Предложена и исследована математическая модель деформации естественно закрученного стержня, учитывающая обобщённый вид связи между различными механическими характеристиками стержня. Это отличает предложенную модель от аналогов в области исследования конфигураций ДНК и позволяет объяснить ряд экспериментально наблюдаемых для молекул эффектов, а также выявить ограничения на их способность к сверхспирал изаци и. Построена и проанализирована математическая модель деформации стержня, учитывающая вращательные взаимодействия микрочастиц, образующих его вещество. Модель отличается от известных аналогов тем, что позволяет оценить интегральное влияние интенсивности моментных взаимодействий структурных компонентов стержня на его геометрию. В рамках математической модели деформации криволинейного стержня, основанной на теории Кирхгофа с помощью универсального геометрического метода исследования конфигурации деформированного стержня доказано существование замкнутых конфигураций, и получены аналитические условия замкнутости стержневых объектов. Данные условия отличаются от известных аналогов тем, что дают численные значения параметров решений системы уравнений деформации, при которых конфигурация стержня является замкнутой. Это позволяет определять допустимые для осуществления замкнутости механические параметры стержня и характеристики внешних воздействий. Для рассмотренных в работе математических моделей получены точные решения системы уравнений Эйлера - Кирхгофа, обобщающие решение Лагранжа на соответствующие случаи. Найденные решения позволили в рамках единого математического аппарата оценить влияние новых механических факторов, учитываемых при построении конкретной математической модели, на характер условий замкнутости и вид замкнутых конфигураций. Теоретические результаты, полученные при анализе построенных моделей интерпретированы в задаче определения условии замкнутости молекулы ДНК. Это позволило объяснить ряд экспериментально наблюдаемых в поведении молекулы явлений. С учетом специфики исследуемых моделей разработаны алгоритмы численного определения механических параметров замкнутых конфигураций стержневых элементов, и проведён численный эксперимент. Установлено качественное совпадение наблюдаемых экспериментально замкнутых конфигураций молекул с полученными в результате численного эксперимента. Экспериментально установлено соответствие значений параметров и конфигураций замыкания для случаев криволинейного, прямолинейного и естественно закрученного в исходном состоянии стержня. Математическая модель деформации естественно закрученного стержня, учитывающая обобщённый вид связи между характеристиками деформации и механическими параметрами стержня. Математическая модель деформации стержня, учитывающая вращательные взаимодействия микрочастиц, образующих его вещество. Точные решения системы уравнений Эйлера - Кирхгофа, полученные в рамках построенных математических моделей деформации стержня. Условия существования замкнутых конфигураций стержневых объектов. Алгоритмы численного определения механических параметров замкнутых конфигураций стержневых объектов, учитывающие математическую специфику исследуемых моделей. Практическая ценность диссертационного исследования заключается в прикладном характере разработанных математических моделей и возможности интерпретации результатов моделирования одновременно в нескольких областях. Апробация работы. IV Региональной конференции «Молодёжь XXI века - будущее российской науки» (Ростов-на-Дону, РГУ, г. VII Всероссийском симпозиуме п э прикладной и промышленной математике (Кисловодск, г. Международной научно-технической конференции «Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов» (Таганрог, ТГПИ, г. XIV Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (Москва, МГУ, г. Международной конференции «Классические задачи динамики твёрдого тела» (Донецк, Украина», г. Международной научно-технической конференции «Математические модели физических процессов» (Таганрог, ТГПИ, г.