Неполные блочные разложения, основанные на аппроксимантах Паде

• Автор: Васильева, Екатерина Алексеевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Калининград
• Количество страниц: 184 с. : ил.

1 Полное блочное разложение

1.1 Полное блочное разложение для блочных трехдиагональных матриц

1.2 Полное блочное разложение для модельных задач

2 Касательное и двухчастотное разложения

2.1 Определение касательного и днухчастотного разложений для модельных задач

2.2 Определение касательного и двухчастотного разложений для симметричных блочнотрехдиагональных матриц.

2.3 Касательное разложение как симметричная итерация.

2.4 Связь между касательным разложением и методом ГауссаЗейделя

3 Теоретические и численные оценки скорости сходимости касательного и

двухчастотного разложений

3.1 Вспомогательные теоремы

3.2 Оценки снизу для матрицы системы К для модельной задачи .
3.3 Сходимость последовательности блоков 1 и блоков матрицы остатка Л для касательного и двухчастотного разложений
3.4 Оценки для нормы итерационного оператора.
3.5 Оценки для классических симметричных задач.
4 Последовательности касательных и двухчастотных разложений
4.1 Теоретические оценки скорости сходимости последовательностей касательных и двухчастотных разложений
4.2 Численные оценки скорости сходимости последовательностей касательных
и двухчастотных разложений .
4.3 Результаты численных экспериментов.
4.4 Обобщения
5 Разложения высоких порядков
5.1 Обобщенное касательное и Мчастотное разложения
5.2 Оценка скорости сходимости и оптимальные параметры обобщенного касательного и Мчастотного разложений для модельной задачи.
5.3 Теорема существования обобщенного касательного и
Мчастотного разложений для модельной задачи
5.4 Разложения высоких порядков для матриц общего вида.
5.5 Результаты численных экспериментов.
Зак л ючение
Приложение А
Приложение В
Приложение С
Список использованных


В качестве примеров были рассмотрены задача Дирихле для уравнения Пуассона в треугольнике, Ь образной области и в многосвязной области квадрате с отверстием при различных способах выбора параметров. Другим способом увеличения скорости сходимости неполных блочных разложений является улучшение способа аппроксимации блоков Т, полного блочного разложения. Наиболее просто идею метода можно описать на примере модельной задачи, когда матрица системы уравнений К и , и. Нпхт имеет вид К ЫоскЫсНвд ,,, где Б. Ь О, И 2Ь. Основной идеей улучшения способа аппроксимации блоков 7 является приближение функций ТДС не линейными, а рациональными функциями от матрицы С. Раг, С2х некоторые полиномы степени Ь и М соответственно. Для однозначного определения каждой из функций Рх требуется, чтобы в некотором количестве точек х I 1,. Лр значения 1х и ее производных совпадали со значениями приближаемой функции и ее производных в тех же точках. Для однозначности общее количество условий должно равняться М Ь 1. Построенному аппроксиманту 1гх ставится в соответствие рациональная функция от матрицы ТС РСС2С1. В пятой главе работы рассматриваются различные виды апроксимантов в зависимости от соотношения степеней полиномов РДх и 1мх и видов условий задача КошиЯкоби, когда задаются только значения функции в точках, и обобщенная задача Паде. Численно выясняется, использование каких интерполяций является наиболее эффективным, а именно, при каком соотношении степеней числителя Ь и знаменателя М достигается наиболее высокая скорость сходимости разложений. Особо выделяются обобщенное касательное разложение, соответствующее задаче, когда в тючках заданы значения функции и ее первой производной и Мчастотное разложение, соответствующее задаче КошиЯкоби. Рассматривается задача о выборе параметров разложений, обеспечивающих наибольшую скорость сходимости. В заключительной части работы рассматривается обобщение предложенных разложений на задачи с перемнными коэффициентами и численно исследуется их скорость сходимости. Это стало возможным только после построения новых представлений для рациональных аипроксимантов, по всей видимости, ранее неизвестных. Часть интересных, но не являющихся необходимыми для понимания сути работы, численных результатов приведена в приложенииях А, В и С. В Приложении С, помимо этого, приведены описания способов построения рациональных аипроксимантов, известных ранее и используемых в применяемых алгоритмах. Одним из методов решения систем алгебраических уравнений является метод Гаусса или, как его вариант, . Если разбить матрицу системы на блоки, то можно построить блочное . Шразложенис, которое мы в дальнейшем будем называть полным разложением. А, А Кп,хп. Тогда полное блочное разложение матрицы К. К Ь ТТ1и Т, . Ь Ыкii,,. Ыгii0,0, , Т ЫосксПаТ,. Г, А, Г, А ЬОГи г 2,. Ти Ти г, то процесс решения системы 1. Ь Тг , 1 Т1ин г. Утп 2т, щ Тгищ г т 1. Отметим, в частности, что отсюда видно, что дня решения системы уравнений 1. С полным блочным разложением тесно связан метод матричной прогонки см. Алгоритм 1. Матричная прогонка Пусть требуется решить систему линейных алгебраических уравнений с блочной трехдиагональной матрицей вида 1. Ки Цгцг Щт Л, Ь ит 0 г 1,. Здесь щ и , суть лодвекторы в общем случае различных порядков щ. Д ДД1 Дг, г 2,. Пт 2т, П, 2Г ДгХ1 г ТП 1,. Матрицы Д обычно называют прогоночными коэффициентами. Перепишем выражение для 2 из 1. В ДО г 2,. Тогда, если сравнить его с выражением для 2, из 1. В, Ти,. Тогда метод матричной прогонки 1. Поэтому полное блочное разложение можно рассматривать как один из вариантов метода матричной прогонки или наоборот. В связи с этим, вопрос существования полного блочного разложения невырожденности матриц 7 однозначно связан с обоснованием корректности метода матричных прогонок существованием Д. Наиболее общим условием существования полного блочного разложения для матрицы К является отличие от нуля всех ее главных миноров. Однако это условие является трудно проверяемым. Поэтому на практике предпочтение отдают условию которое для скалярных трехдиагональных матриц соответствуют условию слабого диагонального преобладания см.