Локальный асимптотический анализ дифференциально-разностных моделей оптоэлектронных систем

• Автор: Глазков, Дмитрий Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 149 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Уравнения лазерной динамики. Модель ЛангаКобаяши и некоторые

ее модификации

1.1 Вазовые модели лазерной динамики

1.1.1 Система МаксвеллаБлоха.

1.1.2 Модель ЛоренцаХакеиа.

1.1.3 Сценарии перехода к хаосу в системе ЛоренцаХакена

1.1.4 Уравнения ЛоренцаХаксна и классификация лазеров

1.1.5 Модель лазера класса В с внешней оптической накачкой

1.2 Система уравнений ЛангаКобаяши

1.2.1 Формулировка задачи.
1.2.2 Динамика модели ЛангаКобаяши в отсутствие обратной связи . .
1.2.3 Моды внешнего резонатора
1.2.4 Устойчивость простейших решений системы ЛангаКобаяши .
1.2.5 Условия ПетерманаТейгера, мосты и режимы короткого резонатора
1.2.6 Явление когерентного коллапса.
1.2.7 Низкочастотные флуктуации .
1.3 Другие модели полупроводникового лазера с запаздывающей обратной
связью.
1.3.1 Некоторые модификации модели ЛангаКобаяши
1.3.2 Модель полупроводникового лазера с оптическим фильтром .
1.3.3 Моды внешнего фильтра.
2 Изучение некоторых моделей полупроводниковых лазеров методом
большого параметра
2.1 Основная идея и методика исследования
2.1.1 Описание используемого алгоритма
2.1.2 Обоснование методики исследования.
2.2 Динамика сингулярно возмущенной системы ЛангаКобаяши в простейшем случае
2.2.1 Построение нормализованной системы при О, и1
2.2.2 Свойства редуцированной модели
2.3 Локальный асимптотический анализ модели ЛангаКобаяши при большой накачке.
2.3.1 Нормализация при ф1
2.3.2 Свойства нормализованной системы. Устойчивость особых мод . .
2.3.3 Динамика квазннормальной формы. Численный анализ
2.4 Качественный анализ модели ЛангаКобаяши в ситуации п1.
2.4.1 Корни характеристического квазиполинома и разложение решения в асимптотический ряд.
2.4.2 Приложение алгоритма нормализации.
2.4.3 Коэффициенты комплексного уравнения при другой параметризации
2.4.4 Простейшие динамические свойства нормализованной системы . .
2.5 Уравнения Л ап гаКобаяши в присутствии оптического фильтра.
2.5.1 Простейший случай ,ГЗ1
2.5.2 Большая накачка ф1 в системе с фильтром
2.6 Нормализация в случае, когда параметры меняются с течением времени
2.6.1 Воздействие быстро осциллирующих коэффициентов на динамику модели ЛангаКобаяши в простейшем случае.
2.6.2 Быстро осциллирующие коэффициенты при асимптотически большой накачке.
2.6.3 Другие типы модуляции параметров
3 Динамика системы уравнений первого порядка с запаздыванием, моделирующей работу оптоэлектронных устройств
3.1 Бифуркация скалярного уравнения.
3.1.1 Постановка задачи и нормализация в простейшем случае
3.1.2 Свойства нормальной формы .
3.1.3 Скалярное уравнение, в котором нелинейность зависит от малого
параметра.
3.2 Некоторые обобщения скалярной задачи.
3.2.1 Случай комплексного уравнения
3.2.2 О возникновении счетного числа однотипных периодических решений в комплексном уравнении .
Заключение
Литература


Построена нормальная форма — уравнение второго порядка, близкое к гамильтоновой системе на плоскости. Вторым методом Ляпунова и методом Понтрягина доказывается глобальная устойчивость периодического решения нормальной формы. При этом явно вычисляются амплитуда и период колебаний. Делаются выводы о характере колебаний в исходном уравнении. Изучается зависимость от малого параметра перед нелинейным слагаемым. В разделе 3. В комплексном случае изучается характер потери устойчивости нулевым решением при выходе значений параметров из области устойчивости. Отмечается существование любого наперед заданного числа однотипных периодических решений. В заключении подводятся итоги работы, резюмируются основные результаты и выводы, а также намечаются направления дальнейших исследований. Асимптотические приближения решений нескольких систем уравнений, которые моделируют динамику лазера с запаздывающей обратной связью, при значениях параметров, близких к критическим. Результаты численно-аналитического исследования полученных новых систем уравнений — квазинормальных форм. Классификация критических случаев бесконечной размерности для модели Ланга-Кобаяши и системы с оптическим фильтром. Способы стабилизации излучения лазера на основе анализа нормализованных уравнений. Нормальная форма одного семейства дифференциальных уравнений с запаздыванием и бифуркация, приводящая к возникновению цикла асимптотически большого периода. Уравнения лазерной динамики. Колебания электромагнитных нолей, и том числе образующихся при генерации лазером излучения, описываются классическими электродинамическими уравнениями Максвелла. Здесь Е — вектор электрического ноля, Р — вектор поляризации вещества, р — матрица плотности (статистический оператор), /У? Ат$р — объемная плотность статистического оператора, (Яр(с1р)) — среднее значение но такому объему, Я — гамильтониан, ( ] — скобки Пуассона. Как обычно, с — скорость света в вакууме, и — проводимость, отражающая наличие объемных потерь в среде, Я — энергетический коэффициент отражения зеркала. Самосогласованная система уравнений (1. Максвелла-Блоха и является одной из наиболее общих и важных моделей лазерной физики. Поскольку уравнения состояния вещества носят квантовый характер, а уравнения для электромагнитного поля — классический, то модель Максвелла-Блоха нередко называют квлзиклассической или полуклассической. Подобный полукласси-ческий подход оказывается наиболее удачным и продуктивным для описания большинства лазеров. Исключение составляют микро^зонаторные лазеры, характер излучения которых хорошо отражают квантовые уравнения. Предположим, что активная среда состоит из двухуровневых атомов или диполей, а комплексные амплитуды вектор-функций Е и Р медленно зависят от пространственных и временных переменных []. В этом случае graddiv. Из соображений простоты в данной формулировке оставлена лишь одна пространственная переменная г. Здесь щ — показатель преломления в основной среде в предположении, что она состоит из двухуровневых атомов, до — магнитная проницаемость вакуума. Уравнение (1. В результате удается редуцировать достаточно сложную исход-нуго систему (1. Ее наиболее простой формулировкой является система уравнений Лоренца-Хаксна. Система Лоренца-Хакена (или комплексная модель Лоренца [1]) — одна из самых простых, но в то же время самых значимых и универсальных моделей лазерной динамики. Наряду с моделью Максвелл а-Блоха она является «квинтэссенцией» лазерной физики, отражающей самую суть процессов, происходящих в типичном оптическом квантовом генераторе. Простота формулировки — задача сводится к изучению системы ОДУ — сделала ее объектом многочисленных исследований. Уравнения Лоренца-Хакена, кроме того, лежат в основе целой иерархии моделей, описывающих динамику самых разнообразных лазерных устройств. Здесь хну — нормированные комплексные амплитуды электрического поля волны и поляризации активной среды соответственно, г — инверсия населенностей. Параметры а и Ь есть отношения скоростей релаксации, г — параметр накачки, <5 — параметр расстройки. Отметим, что частным случаем системы (1.