Исследование математических моделей с феноменом неединственности

• Автор: Гильмутдинова, Альбина Фаритовна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 123 с. : ил.

Содержание

Обозначения и соглашения

Введение

1 Вспомогательные сведения

1.1 Относительно рограниченные операторы

1.2 Относительно рсекторианьные операторы.

1.3 Обобщенная задача Шоуолтера Сидорова.

1.4 Банаховы многообразия и векторные поля.

1.5 Функциональные пространства

1.6 Полулинейные эволюционные уравнения .

1.7 Некоторые результаты нелинейного функционального

анализа
2 Уравнение КорпусоваПлетнераСвешникова
2.1 Квазиетационарные траектории
2.2 Задача Шоуол тера Сидорова.
2.3 Постановка задачи
2.4 Морфология фазового пространства.
2.5 Несуществование и неединственность решения задачи
Шоуолтера Сидорова.
2.6 Результаты численных экспериментов.
3 Система уравнений Плотникова
3.1 Квазиетационарные полутраектории.
3.2 Постановка задачи
3.3 Единственность решений задачи Шоуолтера Сидорова
3.4 Неединственность решений задачи Шоуолтера Сидорова .
3.5 Результаты численных экспериментов
Список литературы


Я; 3) — означает, что Ь является линейным непрерывным оператором, скип Ь = Я, причем вместо Ь Е ? Ь Е С/(Д;5") — означает, что Ь является линейным, замкнутым, плотно определенным оператором, т. Ь = Я, причем вместо ? Е С/(Я; ) будем писать ? С*(Я; 5),/с € Ни {сю} — означает, что оператор Ь имеет непрерывные производные Фреше до порядка к включительно, определенных на Я и действующих в 5. Символами И и О мы будем обозначать соответственно "единичный" и "нулевой" операторы, области определения которых ясны из контекста. Если оператор Ь Е ? Я) или Ь Е С/(Я), то через р(Ь) или а(Ь) будем обозначать резольвентное множество или спектр оператора Ь соответственно. Все контуры ориентированы движением "против часовой стрелки и ограничивают область, лежащую "слева"при таком движении, если не оговорено обратное. Основные результаты каждого параграфа называются теоремами. Второстепенные и вспомогательные результаты называются леммами. Частные случаи условий теорем и лемм, а также выводы из них формулируются как следствия. Очевидные факты излагаются в замечаниях. Символ • лежит в конце доказательства. В рамках диссертации принята тернарная нумерация определений, утверждений и формул, т. Пусть П С Кп, п € N - ограниченная область с границей (Ю. С°°. А - У2)м, = оЛ2и + (){У,иУи), (0. Параметры а, /3, А е Ж характеризуют свойства полупроводника, причем если знаки параметров о: и /3 для нас безразличны, то о знаке Л следует сказать особо ввиду его важности для дальнейшего. Параметр Л = к/г2, где к - коэффициент электрической поляризуемости, а г2 - некоторая положительная постоянная отвечающая за другие свойства полупроводника. Так вот, квазистационарные процессы в полупроводниках возможны только при условии отрицательности коэффициента к. Причем именно в данном случае возможен пробой полупроводника, наблюдаемый экспериментально ([], гл. Впервые уравнение (0. Корпусова - Плетпера - Свешникова (уравнением КПС). В этой же работе была установлена однозначная разрешимость уравнения (0. Л - У2)(и(ж, 0) - ио(а;)) = 0, х € П, (0. Л, что влечет обратимость дифференциального оператора при производной по времени в уравнении КИС. Нашей задачей является качественное и численное исследование данной начально-краевой задачи при любых (н том числе и отрицательных) значениях параметра Л. Av — Ага, () = ? Aw + 6w — j3w3, (0. Параметры (3 и 5 характеризуют фазовый переход, причем 6 = (2а^2)“1, где ? G М+ - поверхностное натяжение, a Е R+ - мера ширины зоны фазового перехода (так называемая длина взаимодействия) [|, [], [], []. Содержание и знак параметра /3 Е R и дальнейшем несущественны, главное, что р ф 0. Поскольку систему уравнений (0. В.Е. Федоровым []) впервые построил, глубоко и обстоятельно изучал П. И. Плотников с учениками [], [], то в дальнейшем мы будем называть (0. Плотникова. Нашей задачей является качественное и численное исследование разрешимости задачи (0. Ьй = Ми -Ъ М(и). В частности если оператор М (Ь,р) - ограничен или сильно (Ь,р) - секториалеп, то пространства И и 5 расщепляются в прямые суммы И = ° СВ так, что действия операторов Ь и М тоже расщепляются, т. Ии + Г{и), (0. При исследовании задачи (0. С°° - диффеоморфизма, определенного на области О1 С IIі [], []. Другими словами потребовалось, чтобы фазовое пространство локально было бы банаховым (7С5° - многообразием. Здесь же была сформулирована проблема изучения морфологии (т. К настоящему времени в этом направлении получен ряд интересных результатов. Именно показано, что в ряде прикладных задач [], [], |), [|, [], [| фазовым пространством служит простое банахово С°° - многообразие, моделируемое подпространством И‘. Напомним, что банахово С°° - многообразие называется простым, если любой ого атлас эквивалентен атласу, содержащему единственную карту. Другими словами, банахово С -многообразие является простым, если оно "почти"не отличается от подпространства Я1. Между тем в работах P. H.A. Сидорова [|, [], [] была поставлена и изучена новая начальная задача для уравнений вида (0. L(u(0) - щ) = 0, (0. Шоуолтера - Сидорова.