Численное моделирование граничных обратных задач теплопроводности

• Автор: Колесникова, Наталья Юрьевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 120 с. : ил.

Содержание
Введение

1 Основные определения

1.1 Модуль непрерывности обратного оператора и его свойства .

1.2 Понятие метода решения условно корректной задачи.

1.3 Исследование на оптимальность метода М.М. Лаврентьева

1.4 Метод проекционной регуляризации.

2 Обратные задачи теплообмена

2.1 Деление задач на прямые и обратные.

2.2 Тепловой эксперимент и обратные

задачи теплопроводности

2.3 Обратная задача тепловой диагностики.
2.4 Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи для параболического уравнения.
2.5 Обратная задача для уравнения теплопроводности на кольце
2.6 Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи тепловой диагностики с разрывным коэффициентом
3 Численное решение обратных задач теплопроводности
3.1 Численное решение обратной задачи теплопроводности
Список литературы


На этом закончилась неопределенность в теории некорректных задач и начались исследования, связанные с построением оптимальных и оптимальных но порядку методов, в которых приняли участие многие математики. Параллельно с развитием оптимальных методов в теории некорректных задач появилась новая проблема, связанная с решением прикладных задач. Эта проблема заключалась в том, что оптимальные методы не давали нужного для практики решения, заглаживая его. Это привело к необходимости создания новых методов, позволяющих выявить "тонкую структуру’1 решения. Создание этих методов было связано с использованием в них дополнительной априорной информации о решении. Особенностью этого направления является тесный контакт с прак тиками и наличие значительного численного эксперимента. В этом направлении в качестве примеров можно отметить исследования некоторых физических задач в работах В. К. Иванова, В. В. Васина и В. II. Тананы [], и В. В. Васина, А. Л. Агеева (]. Конкретная зависимость решения некорректно поставленной задачи от погрешности входных данных была впервые получена в работах В. П. Тананы [, ]. Эти исследования продолжаются и в данной работе. С численной реализацией методов решения некорректных задач на ЭВМ связано третье направление, в рамках которого исследуются вопросы замены исходной задачи некоторым конечномерным аналогом. Конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов. При реализации основных методов решения некорректно поставленных задач, таких, как метод регуляризации А. М.М. Лаврентьева, метод квазирешений В. К. Иванова и метод невязки невозможны без использования ЭВМ. Для этого требуется замена исходной (бесконечномерной) задачи некоторой конечномерной. При этом указанная замена не должна испортить сходимость регуляризованных решений к точному. Исследованию этого вопроса посвящено большое число работ, среди которых отметим [2], [, , ], [], [, , ], [|, [2, 3, 5| и многие другие. При планировании стендовых испытаний ракетных двигателей, а также проектировании литейно - прокатных модулей и в других технических и естественных задачах важную роль играет точность решения обратных задач тепловой диагностики []. Для приближенных решений, соответствующих задач, необходимо получение точных гарантированных оценок. В работе [] в году М. М. Лаврентьев поднимает вапрос об улучшении точности решения системы линейных уравнений. Затем, в работе [) М. Метод М. М. Лаврентьева прост и удобен в решении некорректных задач. В данной работе впервые доказано, что метод М. М. Лаврентьева, при подходяще выбранном парамктре е, является оптимальным. Он использован при решении граничной обратной задачи тепловой диагностики. Высокая точность решения обратной задачи позволяет более надежно планировать стендовые испытания ракетных двигателей. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и библиографии, насчитывающей 0 наименований. Во введении дан краткий экскурс в историю вопроса. В главе 1 сформулированы основные понятия и определения класса корректности, модуля непрерывности обратного оператора и метода решения условно - корректной задачи, а также доказаны необходимые свойства модуля непрерывности и класса корректности. Во второй части главы рассматриваем необходимые определения и теоремы связанные с решением условно - корректных задач - это определение количественной характеристики точности метода и оценка погрешности приближенного решения. Дано обобщение теории В. К. Иванова [], посвященной исследованию классов корректности на случай некомпактных операторов. В третьей части главы даны определения оптимального и оптимального по порядку методов, а также количественные характеристики точности таких методов. В этой же главе впервые доказана оптимальность метода М. М. Лаврентьева, и получены точные оценки погрешности этого метода на различных классах корректности. Далее рассматривается метод проекционной регуляризации, введено регуляризующее семейство операторов [] и рассмотрены оценки уклонения приближенного решения от точного на соответствующем классе, а также определен выбор параметра регуляризации.