Применение метода функций Ляпунова в задачах приемлемости приближенных математических моделей

• Автор: Журавлева, Ирина Викторовна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 121 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА В ЗАДАЧАХ

ПРИЕМЛЕМОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ

СИСТЕМ

1.1. Понятие приемлемости. Постановка основных задач

1.2. Приемлемость решений вырожденных уравнений движения

механических систем ,

1.3. Преобразование переменных

1.4. Свойства решений вырожденной системы уравнений

1.5. Исследование приемлемости решения вырожденной системы

методом функций Ляпунова
1.6. Сохранение приемлемости при возмущениях
1.7. Пример исследования приемлемости
ГЛАВА 2. МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ЧАСТНОГО ВИДА.
ПРИЕМЛЕМОСТЬ РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
2.1. Понижение порядка уравнений движения диссипативной системы
2.2. Понижение порядка уравнений диссипативной системы при
наличии гироскопических сил
2.3. Понижение порядка уравнений движения гироскопической системы
2.4. онижение порядка дифференциальных уравнений движения
механических систем с малым параметром при старших производных
2.5. Пример оценки значений параметра приемлемости
ГЛАВА 3. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ
НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ
ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
3.1. Четаевская А X оценка погрешности линеаризованных дифференциалных уравнений системы автоматического регулирования
3.2. Приемлемость приближенного решения нелинейной диссипативной системы при постоянно действующих возмущениях
ГЛАВА 4. АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРА
ПРИЕМЛЕМОСТИ И ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ
МОДЕЛЕЙ
4.1. Алгоритм нахождения значений параметра приемлемости
4.2. Эллипсоидальная оценка области отрицательных значений производной функции Ляпунова V
4.3. Использование экстремальных функций Ляпунова при вычислении значений параметра приемлемости
ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Актуальность


Результаты диссертационной работы используются в учебном процесссе механикомашиностроительного факультета МарГТУ. Результаты исследований использовались при выполнении 1-ранта РФФИ: 3 «Создание информационной системы для мониторинга космической погоды на уровнях внутренней ионосферы». Имеется соответствующий акт о внедрении. Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на IV Международной научной конференции "Циклы природы и общества" (г. Ставрополь, СГУ, г. КазГТУ (г. Казань, 9 г. МарГТУ (г. Йошкар-Ола, г. Вавиловских чтениях (г. Йошкар-Ола, г. Ахметгалеевских чтениях (Казань, КазГТУ, г. Московского университета Дружбы народов (Москва, г. Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения (Саранск, СарГУ, г. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 научных работах, в том числе 4 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателю принадлежат следующие результаты: в [1] - доказательство выполнения достаточных условий приемлемости для нелинейной неоднородной системы дифференциальных уравнений, построение оценки нормы решения вырожденной системы и ее производных по времени, в [3] - доказательство выполнения достаточных условий приемлемости для системы с малым параметром при старшей производной, исследование зависимости решения вырожденной системы от существенного параметра, в [8] - аналитическое исследование приемлемости системы второго порядка. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего наименования. Основная часть работы изложена на 1 странице, содержит 9 рисунков. Использование в современной технике сложных динамических систем различного назначения приводит к построению для них сложных математических моделей, аналитическое исследование которых, как правило, наталкивается на значительные трудности. Между тем для практики, особенно на этапе предварительного проектирования таких систем, обычно необходимы лишь интегральные характеристики, описывающие качественные особенности поведения системы. Слово "приемлемость" здесь используется пока в обыденном субъективном смысловом значении и выражает удовлетворенность исследователя в отношении тех или иных свойств приближенной модели. Таким свойством может быть, например, малость отклонений результатов, получаемых при использовании точной и приближенной моделей). Упрощенные модели являются одним из средств качественного анализа процесса функционирования системы на этапе предварительных расчетов. Упрощенные модели могут использоваться и в том случае, когда информация о входящих в математическую модель членах высокого порядка является недостаточной. А.А. Андроновым еще в первом издании г. Более строго: решения х(/) и *(/) с одинаковыми начальными условиями лг(/0) = Зё(/0) можно сделать сколь угодно близкими на бесконечном интервале 0 < /0 < / < оо за счет выбора достаточно малого значения параметра т ; близость производных х(/), х(/) также может быть обеспечена, но лишь при специально подобранном начальном условии х^0) = —кх(? Согласно сложившейся позднее терминологии дифференциальные уравнения с большим или малым параметром при членах с низшей производной стали называть регулярно вырожденными, а уравнения с малым параметром при высшей производной - сингулярно вырожденными. А.Н. Тихоновым и А. I, так и . В дальнейшем эта теорема послужила теоретическим основанием для построения приближенных моделей и асимптотического анализа решений краевых задач. В гоже время для задачи Коши на бесконечном интервале изменения времени теорема Тихонова, насколько нам известно, не использовалась. Возможность аппроксимации решения дифференциальных уравнений движения гироскопической системы (в линейном приближении) решениями вырожденной системы «прецессионных» уравнений была впервые исследована Д. Р. Меркиным в его работе []. Им же был введем и термин “приемлемость”, используемый впоследствии другими авторами.