Моделирование систем с распределенными параметрами с помощью сетей радиальных базисных функций, обучаемых методом доверительных областей

• Автор: Жуков, Максим Валерьевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Пенза
• Количество страниц: 150 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

1.1 Анализ численных методов решения краевых задач

1.2 Анализ процесса решения краевых задач с помощью РБФ-сетей

1.2.1 РБФ-сеть, виды РБФ-сетей

1.2.2 Процесс решения краевых задач с помощью РБФ-сетей, выбор начальных параметров РБФ-сетей

1.2.3 Методы минимизации функционала ошибки РБФ-сети

1.2.4 Решение нелинейных и нестационарных краевых задач с помощью РБФ-сетей

1.3 Анализ методов решения обратных краевых задач с помощью РБФ-сетей

1.3.1 Граничные обратные задачи

1.3.2. Эволюционные обратные задачи
1.3.3. Коэффициентные обратные задачи
Выводы к главе
ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ РБФ-СЕТЕЙ, ОБУЧАЕМЫХ МЕТОДОМ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ
2.1 Минимизация функционала ошибки РБФ-сети с помощью метода доверительных областей
2.1.1 Метод доверительных областей
2.1.2. Адаптация метода доверительных областей к задаче обучения РБФ-сетей
2.2 Решение краевых задач с помощью РБФ-сетей, обучаемых методом доверительных областей
2.2.1 Решение стационарных краевых задач
2.2.2. Сравнение метода доверительных областей с другими методами обучения РБФ-сетей при решении линейных стационарных
краевых задач
2.2.3. Сравнение метода доверительных областей с другими методами обучения РБФ-сетей при решении нелинейных стационарных
краевых задач
2.2.4. Решение нестационарных краевых задач с помощью РБФ-сетей,
обучаемых методом доверительных областей
2.2.5 Выбор начальных значений параметров РБФ-сетей, обучаемых методом доверительных областей
2.3. Решение обратных краевых задач с помощью РБФ-сетей, обучаемых методом доверительных областей
2.3.1. Решение эволюционных и граничных обратных задач с помощью РБФ-сетей, обучаемых методом доверительных областей
2.3.2. Метод решения коэффициентных обратных задач с помощью РБФ-сетей, обучаемых методом доверительных областей
2.3.3. Решение коэффициентных обратных задач для стационарных уравнений
2.3.4. Решение коэффициентных обратных задач для нестационарных уравнений
Выводы к главе
ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА КОМПЛЕКСА ПРОГРАММ НЕЙРОСЕТЕВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
3.1 Проектирование комплекса программ
3.2 Разработка комплекса программ
3.3 Использование комплекса программ
Выводы к главе

ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОИМПЕДАНСНОЙ ТОМОГРАФИИ С ПОМОЩЬЮ РБФ-СЕТЕЙ
4.1 Электроимпедансная томография: понятие, принципы
4.2 Постановка задачи ЭИТ
4.3 Анализ способов решения задачи ЭИТ
4.4 Решение задачи ЭИТ с помощью РБФ-сетей
Выводы к главе
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
СПИСОК ПРИНЯТЫХ СОКРАЩЕНИЙ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ПРИЛОЖЕНИЕ. Акты внедрения
При решении нестационарных задач с помощью РБФ-сетей возможны три подхода: рассмотреть время как одну из координат и решить задачу таким же образом, каким решаются стационарные задачи; провести декомпозицию предметной области по времени; воспользоваться методом прямых [7, 82], т.е. произвести конечно-разностное разбиение задачи по времени и выполнить сетевую аппроксимацию в каждом временном слое. В работе [34] отмечается, что при использовании РБФ-сетей третий подход предпочтительнее первых двух, поскольку позволяет получить более точное решение за приемлемое время.
Подведём итоги. Анализ процесса решения прямых задач математической физики с помощью РБФ-сетей показал, что задача обучения сети сводится к решению многокритериальной, имеющей множество локальных минимумов, нелинейной задаче минимизации. В то же время, практически все используемые методы обучения РБФ-сетей являются локально сходящимися градиентными методами, что в купе с отсутствием четких правил выбора хорошей начальной конфигурации параметров РБФ-сети резко снижает эффективность сетевого метода. Единственным, не градиентным методом обучения РБФ-сетей, является метод на основе БУБ-разложения. К сложностям, связанным с использованием данного, метода можно отнести отсутствие четких правил выбора оптимальной ширины РБ-функций, большая размерность решаемой системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), необходимость применения квазилинеаризации при решении нелинейных задач. На основании этого, можно сделать вывод о целесообразности разработки глобально сходящегося, многокритериального, эффективного метода минимизации функционала ошибки.
1.3 Анализ методов решения обратных краевых задач с помощью РБФ-сетей
Среди краевых задач математической физики выделяют прямые и обратные задачи. Прямые задачи характеризуются необходимостью найти решение, которое удовлетворяет заданному уравнению с частными производными и некоторым