Исследование математических моделей страхования при нестационарных потоках страховых премий с интенсивностью, зависящей от капитала

• Автор: Кац, Вадим Маркович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 129 с. : ил

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

1. Условное время до разорения страховой компании, описываемой классической моделью

1.1. Вероятности разорения и выживания страховой компании

1.2. Производящая функция условного времени до разорения

1.2.1. Производящая функция условного времени

1.2.2. Плотность распределения при нулевом капитале

1.2.3. Асимптотическое поведение условного распределения времени до разорения

1.2.4. Условное распределение времени до разорения при произвольном капитале

1.3. Условные моменты времени до разорения

1.3.1. Уравнения, определяющие условные моменты времени до разорения

1.3.2. Неравенства на моменты
1.3.3. Асимптотическое поведение моментов
1.4. Характеристики страховой компании при малой нагрузке страховой премии
1.4.1. Вероятность разорения страховой компании
1.4.2. Условные моменты времени до разорения
1.4.3. Вероятность достижения заданного значения капитала
1.4.4. Условное среднее время достижения заданного значения капитала
Резюме
2. Влияние рекламы на деятельность страховой компании, описываемой классической моделью
2.1. Модель изменения капитала
2.2. Оптимальное управление расходами на рекламу
2.3. Оптимальное управление расходами на рекламу. Второй
критерий оптимальности
2.4. Вероятности разорения и выживания
2.5. Условное среднее время до разорения
Резюме
3. Исследование модели страховой компании с нестационарным пуассоновским потоком страховых премий
3.1. Модель страховой компании. Распределение числа клиентов страховой компании
3.2. Оптимальное управление расходами на рекламу
3.3 Конкурентное взаимодействие двух страховых компаний,
действующих на ограниченном страховом рынке
Резюме
Приложение. Оптимальное управление системой, описываемой системой интегродифференциальных уравнений Вольтерра
Заключение
Библиографический список использованной литературы
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность


В ряде работ рассматриваются более сложные по сравнению с предыдущими модели. Например, H. Schmidli [] рассматривает возможность одновременного инвестирования и перестрахования. Ф. Еникеева и В. Калашников [] и Tsitsiashvilii G. Sh. Другим аспектам математической теории страхования посвящены работы [, ]. В работе П. Эмбрехтса [] прослеживается связь между актуарным и финансовым подходами к расчету страховых премий. Применение методов теории чувствительности к задачам страхования и теории финансов рассматривается в работе R. Norberg []. Применению франшизы, которая может получить большое распространение в связи введением обязательного автомобильного страхования, посвящена работа Ю. Д. Григорьева и И. Ю. Хекало []. Наиболее близкими по тематике к вопросам, рассматриваемым в диссертации, являются работы Д. Д. Ахмедовой, O. А.Ф. Терпугова [1, 2, 3], в которых рассматривается влияние расходов на рекламу на деятельность страховой компании, и работы O. A. Змеева [] и С. А. Масяйкина [], в которых исследуется конкурентное взаимодействие страховых компаний. Несмотря на обилие работ по математической теории имущественного страхования, многие вопросы требуют дальнейшего изучения. Как указывалось выше, основной изучаемой характеристикой обычно является вероятность разорения компании в стационарном режиме. Однако, эта характеристика не дает представления о том, на каком временном интервале нужно ожидать разорение. Дополнительную информацию можно извлечь, изучая распределение условного времени до разорения при условии, что оно происходит. Страховая компания может использовать свободные средства для привлечения новых клиентов (рекламу). Это, с одной стороны, интенсифицирует поступление средств в компанию, а, с другой стороны, отвлечение средств должно увеличивать вероятность разорения. Поэтому возникает необходимость исследования влияния расходов на рекламу на деятельность страховой компании и оптимизации управления отчислениями на рекламу. При построении математических моделей процесса страхования обычно за основу берутся потоки страховых премий и страховых выплат, которые считаются независимыми друг от друга. Более естественным представляется взять за основу наряду с потоком страховых премий распределение времени пребывания клиента в компании. Характеристики потока страховых выплат будут при этом определяться основными характеристиками и вероятностью наступления страхового случая. Функционирование страховой компании во многом зависит от конкуренции со стороны других страховых компаний. Поэтому возникает необходимость в разработке и исследовании модели, учитывающей конкурентное взаимодействие страховых компаний. Освещению поставленных проблем посвящена представленная диссертация. В первой главе диссертации исследуется классическая модель изменения капитала страховой компании []. Считается, что процесс поступления страховых премий в компанию является детерминированным, за время I приращение капитала компании равно О, где С - количество средств, поступивших в компанию за единицу времени; страховые выплаты -независимые случайные величины с плотностью распределения Ч'(л:) и средним значением а; моменты страховых выплат образуют пуассоновский поток интенсивности Я. Параметры Я, а, С связаны соотношением С = (1 + в)Ла, где в > 0 - нагрузка страховой премии. В параграфе 1. В параграфе 1. Пусть в момент времени / капитал компании равен 5(*) и пусть в начальный момент времени 5(о)=5. Пусть (Л, . Р, Р) - вероятностное пространство, на котором определены траектории процесса 5(/). Все траектории процесса 5(/), выходящие из точки 5, можно разбить на два непересскающихся класса: &,(/), ®е ^р) ¦ траектории, приводящие к разорению, и {5^(/), - траектории, приводящие к выживанию. С1р. Ла) . Теорема 1. WS. S,u) _ ^ + л Гф(? S), lim ф(5,и)= 0. Обозначим p(S,t) условную плотность распределения времени до разорения при условии, что оно происходит и начальный капитал равен 5. Y{co)= fехр(- (oSyv(S)dS, хЫ=-(1-ГЫ). Теорема 1. Мехр(-Л,)|&? И—У И (с + ЯГ(й,))ехр(Сй/ )с1со. Теорема 1. Теорема 1. Г{а))п ехр(й? У(й>У ехр(йл? Ау.