Канонические модели кубически параметризованных кривых и их использование в задачах изучения многомерных массивов

• Автор: Прокопенко, Евгения Викторовна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Кемерово
• Количество страниц: 181 с.

Оглавление
Введение

1 Классификация кубически параметризованных кривых

1.1 Проблема классификации плоских и пространственных кубически параметризованных кривых и моделирования рельефа

1.2 Классификация двойничных кубических форм

1.3 Канонические модели кубически параметризованных кривых и их геометрическое описание

2 Канонические модели Всплайновых кривых

2.1 Канонические модели пространственных Всплайновых кривых

2.2 Канонические модели плоских Всплайновых кривых

2.3 О гипотезе ФоксаПратта

3 Программный комплекс по обработке статистических данных

3.1 Использование пакета V и средств Vi x в решении геоинформационных задач
3.1.1 Среда разработки программного комплекса V,
Vi x
3.1.2 Сплайновый подход при восстановлении рельефа
3.2 Сплайновый подход в исследовании статистических данных
Заключение
Литература


Теорема 1. Существует единственное аффинное преобразование, ставящее в соответствие каждой кубически параметризованной кривой её каноническую модель. Показано, что канонические модели являются плоскими кривыми. Теорема 1. Для любой кубически параметризованной кривой каноническая модель является плоской кривой. Следствие. Аффинное преобразование, переводящее кривую в каноническую модель, является вырожденным и, следовательно, является проекцией. Плоскости канонических моделей определяются однозначно. В случае в пространстве-имеется невырожденных модели типа {^,^,7^}, которые расположены в соответствующих плоскостях. О,-* + у -1 = 0,х-у + 1 = 0,л2 + 1 = О,-Л' + 2-1 = 0. Все указанные модели являются плоскими сечениями цилиндра. Направляющей этого цилиндра является полукубическая парабола, лежащая в одной из координатных плоскостей, а образующие цилиндра перпендикулярны этой плоскости. X) г + 1 - у = 0 х = у)п + 1 (^З. Вторая глава диссертации «Канонические модели В-сплайновых кривых» посвящена плоским и пространственным элементарным и составным сплайно-вым кривым, которые относятся к кривым, заданным параметрическими уравнениями третьей степени (сюда входят кривые Безье, В-сплайновые кривые, Бета-сплайновые кривые и кривые СаНниП-Иют). На практике все известные типы сплайновых кривых задаются с помощью массивов точек или векторов. Говоря о сплайновых кривых и сплайновых поверхностях, будем понимать их в смысле определений, данных Е. И. Шикиным и А. И. Плиссом в работе []. Согласно этим определениям, смежные куски составных кривых или поверхностей могут стыковаться не только по граничным точкам или кривым, как это имеет место для классических сплайновых кривых и поверхностей, а даже иметь общие участки - так называемые перекрытия. Указанное отличие от классического определения сплайна позволяет гарантировать гладкость построенной кривой (поверхности). Определение2: Задан массив вершин Р = {Р,{х, ,упс,),/ = 0,1,/«}. Т = ,Р = {Ра,Р},Р2,Р,) = Уо У. Шпкин Е. В., Плис Л. И. Кривые и поверхности на экране компьютера. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, . А/. Саітиіі-Кот. Заметим, что матрица Мь является матрицей полиномов Бернштейна относительно естественного базиса е, =/3,е2 =/2,е3 =/,е4 = 1. Они образуют базис Бернштейна для множества всех полиномов одной переменной степени три, т. Бернштейна. Ро(х) -1-3*+ Здг2 -х1 имеет канонический тип Б г, р1(х) = 3(х-2х2 +х*) имеет канонический тип Б р, р2(х) = 3(. Xі) имеет канонический тип Бр РУ(х) = Xі имеет канонический тип Б2. Ч2(0 = 4 + 4/ + 2г + Г имеет канонический тип qi(t) = 1 -»-2/ + 4¦/* + 4/3 имеет канонический тип 7;’// дл(0 = г3 имеет канонический тип Г3. I3 -6/2 +4 имеет канонический ТИП р2,’ пг([) = -Зг3 + 3(2 +3г -И имеет канонический тип л,(/)-/* имеет канонический тип 3. Заметим, что из рассмотренных базисов {р,}, {ц-,}, {п$ - только в базис {п(} входят формы всех четырех канонических типов. Рассмотрены параметрические уравнения элементарной В-сплайновой кривой, порожденной массивом г = = 0,1,2,3}. I 1 I I . А I 1 , а , 1 1 . I л 2 , I 1 л /1 2 1 . Коэффициенты С/. Для В-сплайновой кривой найдены инварианты, определенные выше. Покажем некоторые из них на примере формы х(1). А 1 ч/1 2 1 . А 1 ч/ 1 1 . Х-х. З(—х0 -х, + —х,)(- —х0 + —х2)(—х0 + —х. Для форм у(0 и г(() соответствующие инварианты получаются из вышеприведенных формул заменой переменной х на переменные у и г соответственно. Следствие. Для каждой из форм х(0, у(0> г(() имеет место соотношение: О = -д, где О - дискриминант формы, А - дискриминант Гессиана формы. Рассмотрены конфигурации, образованные каноническими моделями и их плоскостями для В-сплайновых кривых. Рассмотрен случай, когда тины координатных форм различны - {/г1 ,/•*,,/%},/ * у * А:. Найдены плоскости, в которых расположены каноническая модель каждой кривой. Теорема 2. Рассмотрена конфигурация, которую образуют канонические модели. Рис. Канонические модели. Рис. На рисунке 1 изображены примеры канонических моделей. На рисунке 2 изображена проекция плоскостей, указанных в теореме 2.