Методы и алгоритмы для решения задач математического моделирования на основе вариационных неравенств

• Автор: Меленьчук, Николай Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 123 с. : ил.

Содержание
Введение

1. Связанные ограничения в математическом моделировании

1.1. Модели задач со связанными ограничениями .

1.2. Метод моделирования задачи планирования производства

1.3. Задача транспортного тина со связанными ограничениями

1.4. Несобственная задача линейного программирования .

1.5. Итоги главы 1

2. Двухшаговые экстраградиентные методы

2.1. Экстраградиентные методы .

2.2. Двухшаговый экстраградиептный метод для вариационного неравенства

2.2. 1. Сходимость за конечное число итераций.
2.3. Двухшаговый экстраградиептный метод для седловой задачи
2.4. Двухшаговый экстраградиептный метод для задач линейного программирования.
2.5. Двухшаговый экстраградиептный метод для вариационного неравенства со связанными ограничениями
2.5. 1. Симметризация
2.5. 2. Построение метода
2.6. Итоги главы 2
3. Комплекс программ и численные эксперименты
3.1. Структура комплекса программ .
3.2. Реализация.
3.3. Численные эксперименты.
3.3. 1. Тестовые задачи.
3.3. 2. Задача Розенброка.
3.3. 3. Задачи квадратичного программирования.
3.3. 4. Задачи линейного программирования.
3.3. 5. Задачи транспортного типа.
3.4. Итоги главы 4
Заключение
Список литературы


Метод также применим для моделирования задач транспортного типа и содержательных задач в противоречивых ситуациях, когда ограничения задачи несовместны (несобственные задачи математического программирования). Глава 2 посвящена экстраградиентным методам. Приведены примеры экстраградиентных методов, построенных А. С. Антипиным, А. В. Зыкиной, И. В. Кониовым, Г. М. Корпелсвич, Л. Д. Поповым, Е. Н. Хоботовым. Отмечено существование двухшаговых и трехшаговых итерационных схем, схожих по названию с построенным в диссертации двухшаговым экстраградиентным методом. Приводится несколько примеров таких методов и показывается, что их названия обуславливаются иными закономерностями, данные методы отличаются от предложенных в диссертации. В диссертационной работе предлагается новый двухшаговый экстра-градиентный метод, доказана его сходимость. Для представления этого метода используется задача вариационного неравенства как наиболее общая формулировка, охватывающая достаточно широкий класс задач. При выполнении условия остроты основного отображения вариационного неравенства доказана сходимость двухшагового экетраградиент-пого метода за конечное число итераций. Для билинейной седловой функции доказывается сходимость по норме двух шагового экстраградиентного метода со скоростью геометрической прогрессии. Модификация экстраградиентного метода для решения вариационного неравенства со связанными ограничениями позволяет использовать двухшаговый экстраградиеитный метод для решения задач обратной дополнительности в рамках разработанной модели экономической задачи минимизации затрат на производство из ограниченных запасов ресурсов в условиях рыночных цен в виде вариационного неравенства со связанными ограничениями. Модели такого типа становятся все более востребованными, поскольку в современном глобализованном мире практически не приходится говорить об изолированных объектах и субъектах экономики, и связанные ограничения позволяют отражать связь параметров и переменных задачи. Именно для таких задач модифицирован двухшаговый экстраградиеитный метод. Итерационный процесс в этом методе идет сразу по прямым и но двойственным переменным, таким образом вычисляется не только решение задачи, но и значения внешних факторов, при которых оно достигается. Теоремы в этой главе и принципы их доказательства являются основным теоретическим результатом диссертационной работы. Глава 3 посвящена результатам вычислительных экспериментов для построенных методов. Разработан комплекс проблемно-ориентированных программ, написанных для тестирования двухшагового экстраградиентиого метода, представленного в данной диссертации, и предложенного Г. М. Корпелевич экстраградиентиого метода. Приведены результаты сравнения работы этих методов для задач различной размерности и вычислительной сложности. Сравнение проводится на тестовых примерах и на генерируемых задачах. Из результатов видно, что представленный в данной дисертации двухшаговый экстра градиентный метод, как правило, более эффективен, так как находит приемлемое решение, используя меньшее количество вычислений. Таким образом, показана состоятельность двухшагового экстраградиент-ного метода как эффективного метода для решения задач, предложенных в диссертации. В заключении приведено развернутое изложение основных научных результатов, их использование и дальнейшее развитие. Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, заключаются в следующем. Разработан новый математический метод моделирования экономической задачи минимизации затрат на производство из ограниченных запасов ресурсов в условиях рыночных цен на ресурсы. Метод основан на использовании аппарата вариационных неравенств со связанными ограничениями. Метод использован для построения математической модели экономической задачи, состояние равновесия которой характеризуется рыночными ценами ресурсов, являющимися решением вспомогательной задачи дополнительности. Метод применим для моделирования экономических задач транспортного типа, а также для моделирования содержательных задач в противоречивых ситуациях, когда ограничения задачи несовместны (несобственные задачи МП).