Математическое моделирование и исследование осцилляционных явлений в системах с памятью на основе аппарата дробного интегро-дифференцирования

• Автор: Яшагин, Николай Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 186 с. : ил.

Содержание
Введение.

Глава 1. Аналитический обзор и постановка задачи

Глава 2. Постановка и аналитическое решение начальных

задач для модельных дифференциальных уравнений

2.1. Дробные интегралы и производные РиманаЛиувилля

и некоторые их свойства

2.2. Постановки начальных задач для класса модельных

обыкновенных дифференциальных уравнений с дробными производными Римана Лиувилля

2.3. Метод решения интегрального уравнения Вольтсрры второго

рода. Достаточные условия факторизусмости интегрального оператора

2.4. Корректность модельных начальных задач. Видоизменнная
задача типа Коши.5С
2.5. Выводы по второй главе
Глава 3. Анализ поведения математических моделей дробных осцилляторов на основе аналитических решений модельных задач
3.1. Анализ собственных колебаний .
3.2. Поведение моделей при различных внешних нагрузках.
Характеристики колебательного процесса
3.3. Изучение свойств отдельных частных случаев модельных
дифференциальных уравнений.
3.4. Выводы по третьей главе.
Глава 4. Разработка численных методов решения
дифференциальных уравнений второго порядка с дробными производными РиманаЛиувилля.
4.1. Вычисление интегралов с разностными ядрами и функцией
типа МиттагЛеффлера в ядре
4.2. Приближнный метод факторизации интегрального
оператора. Сходимость
4.3. Итерационная процедура построения численного решения
интегрального уравнения. Оценка погрешности и сходимость .
4.4. Выводы по четвртой главе
Глава 5. Специальные функции в решениях модельных
дифференциальных уравнений.
5.1. Функции типа МиттагЛеффлера.
5.2. Некоторые специальные функции, определяемые на основе
функции типа МиттагЛеффлера
5.3. Обобщение функции типа МиттагЛеффлера па случай двух
и более переменных
5.4. Выводы по пятой главе
Глава 6. Разработка программного комплекса для численного и аналитического решений модельных задач.
6.1. Описание работы с программным комплексом.
6.2. Вычисление значений специальных функций
6.3. Вычисление интегралов с разностными ядрами и функцией
типа МиттагЛеффлера в ядро но квадратурным формулам .
6.4. Построение решений начальных задач
.5. Анализ свойств специальных функций и решений
дифференциальных уравнений с помощью программного
комплекса
.. Выводы но шестой главе.
Заключение
Литература


При математической природе возникновения, дробные производные в записях моделей возникают в результате математических преобразований (к примеру, использования операционного метода) или в результате новой интерпретации известных ранее явлений. Математические корни имеют: «задача о таутохроне» [], «задача о движении пластины в несжимаемой жидкости» [] и многие другие. Широкое применение дробное интегро-диффереицирование нашло в описании поведения вязко-упругих сред. Многочисленные исследования по наследственной механике, берущие свое начало с работ Больцмана [2j и Воль-тёрры [2] и продолженные в работах Г. Дюффинга [8], А. Джемента [9], А. П. Вронского [], Ю. Н. Работнова [6G—|, Г. JT. К(Ь — т) = 1 /(? Римана— Лиувилля. Полученный в результате интегрирования при а = const степенной закон (по времени) хорошо описывает ползучесть различных материалов, по крайней мере — начальные участки кривых ползучести. С помощью этого закона Дюффинг [8] интерпретировал результаты испытаний кожаных ремней, Ержанов [] с успехом применял подобную аппроксимацию для кривых ползучести всевозможных горных пород. Значение показателя для большей части материалов близко к а = 0. Римана— Лиувилли, то количество идентифицируемых параметров при подборе модели. К примеру, для полимера , обладающего сильными демпфирующими свойствами, Р. Сиріаі в [5] показал, что вместо модельного уравнения (1. Аналогичное упрощение наблюдается и для полиуретана [3] — вместо семи целых можно использовать две дробные (а = 3 ~ 0. В последнее время дробные производные активно используются в электродинамике при моделировании проводников и диэлектриков. Описываемое явление в науке получило название «восстановления памяти» []. Кривые переходного тока в теории переходных процессов также имеют степенную природу и строятся на основе решений дробных дифференциальных уравнений. Параметр дробности для таких моделей составляет а = 0. В системах автоматического управления используются обобщённые ПИД-регуляторы [, 1, 5, 1], при описании состояния которых применяются интегралы и производные дробного порядка, что, в частности, продиктовано одним из назначений регулятора — учётом «памяти» системы. Р" + ап-1Рвп-' 4- . Р1 4- ацрР"5 где /Зк >0, ак € К (к = 0,1,. У + Оп-1^аГ‘з/ + • • • + ах0^у + а0О^у = и{1). Кроме того, дробио-дифференциальные модели находят своё применения при математическом описании многих процессов: в диффузионных процессах в различных средах, теплопроводности, динамике турбулентной среды, статистической оптике, радиофизике, гидродинамике, динамическом хаосе, астрофизике, геологии, фрактальной космографии и многих других областях пауки. Ввиду широкой применимости операторов дробного интегро-дифферен-цировапия при описании процессов и сред, обладающих эффектом «памяти», становится актуальным вопрос рассмотрения указанных объектов в динами-ке. В связи с этим появляется повое понятие —понятие дробного осциллятора, математическому исследованию некоторых моделей которого и посвящена настоящая диссертационная работа. Одними из первых работ, посвящённых дробным осцилляторам, являются работы Ф. Цьй 4- соаи{р) = 0, 0 < Ь < Т, (1. С) — обобщённая координата, й = ел, 0 < е < 1. Лиувилля порядка а [], а Г(г) — гамма-функция Эйлера. Обобщение уравнения (1. А. М. Нахушев в []. Гаи(п) + шаи{1) = 0. Та/(п)- Использование производной по Капуто вместо дробной производной Римана—-Лиувилля -Оод/ = (^)п/оГа/ [], Лля любых а 6 К, где п = [а] + 1. Е —множество действительных чисел, является значительным упрощением при моделировании, которое некоторые авторы [] мотивируют тем, что «преимуществом определения дробной производной по Капуто является более естественное для практических приложений решение проблемы начальных условий при решении интегро-дифференциальных уравнений нецелых порядков». Но при моделировании эффектов «памяти» в соотношениях, описывающих состояние системы, возникает именно римановская конструкция дробной производной, а не её «регуляризированная» форма — производная по Капуто. Лй/ - ? Римана—Л иу вилл я порядка а € Е, определяемая равенством = (^)п/5_а/ [], п = [а] 4- 1, [а]— целая часть числа о, а Е—множество действительных чисел. Как видно из (1.