Вэйвлетные разложения пространств полиномиальных и тригонометрических сплайнов

• Автор: Мохамед Валид Салх Отман Габр
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 171 с. : ил.

1.1 Биортогональные системы со свойством локальности и вэйвлетное разложение линейных пространств.
1.2 Предварительные обозначения и биортогональная система функционалов для сплайнов первой степени

1.2.1 Калибровочные соотношения.

1.2.2 Вэйвлетное разложение.

1.2.3 Формулы реконструкции

1.3 Вэйвлетное разложение пространств сплайнов второй степени

1.3.1 Некоторые обозначения.

1.3.2 Оператор проектирования.

1.3.3 Вложенность пространств и вэйвлетное разложение

1.3.4 Матрица декомпозиции

1.3.5 Формулы декомпозиции и реконструкции

1.3.6 Оценки аппроксимации
1.4 Вэйвлетное разложение для кубических сплайнов
1.4.1 Предварительные сведения
1.4.2 Биортогоиальная система функционалов
1.4.3 Калибровочные соотношения.
1.4.4 Вэйвлетные разложения.
1.4.5 Формулы декомпозиции и реконструкции
1.4.6 Анализ погрешностей.
Вложенные пространства тригонометрических сплайнов и их вэйвлетное разложение
2.1 Сплайнвэйвлетные разложения для сплайнов второго порядка .
2.1.1 Предварительные обозначения и биортогоиальная
система
2.1.2 Калибровочные соотношения.
2.1.3 Вэйвлетное разложение.
2.2 Силайивэйвлетные разложения для сплайнов третьего порядка .
2.2.1 Обозначения и вспомогательные утверждения .
2.2.2 Биортогоиальная система функционалов
2.2.3 Переход к новой сетке добавлением одного узла . .
2.2.4 Матрица декомпозиции
2.2.5 Вэйвлетные разложения.
2.2.6 Оценки устойчивости .
3 Один вариант вэйвлетных разложений пространств полиномиальных сплайнов 1X
3.1 Предварительные сведения.
3.2 Калибровочные соотношения
3.3 О системе функционалов, которая биортогональиа системе
функций ит.т
3.4 Вэйвлетиое разложение. Формулы декомпозиции и реконструкции
3.5 Оценки погрешности.
4 Онлайновая модель аппроксимации
4.1 Квадратичное приближение на равномерной сетке
4.2 Кубическая аппроксимация.
4.3 Тригонометрическая аппроксимация.
4.4 О добавлении произвольного числа узлов.
Заключение
Приложение
Описок литературы
Введение
В настоящее время вэйвлетпреобразовання и вэйвлетный анализ используются во многих областях науки и техники для самых различных задач для распознавании образов, для численного моделирования динамики сложных нелинейных процессов, для анализа аппаратной информации и изображений в медицине, космической технике, астрономии, геофизике, для эффективного сжатия сигналов и передачи информации по каналам с ограниченной пропускной способностью и т.н. Многие исследователи называют вэйвлетанализ математическим микроскопом для точного изучения внутреннего состава и структур неоднородных сигналов и функций.
В то же время не следует рассматривать вэйвлетметоды обработки и анализа сигналов в качестве новой универсальной технологии для решения любых задач. Возможности вэйнлетов, несомненно, еще не раскрыты полностью. Однако это не означает, что их развитие приведет к полной замене традиционных средств обработки и анализа информации, хорошо отработанных и проверенных временем. Но оно может существенно расширить инструментальную базу информационных технологий обработки
данных.
Теория вэйвлетов не является фундаментальной физической теорией, но она дает удобный и эффективный инструмент для решения многих практических задач. Основная область применения вэйвлетных преобразований анализ и обработка сигналов и функций, нестационарных но времени или неоднородных в пространстве, когда результаты анализа должны содержать не только общую частотную характеристику сигнала распределение энергии сигнала но частотным составляющим, но и сведения об определенных локальных координатах, на которых проявляют себя те или иные группы частотных составляющих, или на которых происходят быстрые изменения частотных составляющих сигнала. По сравнению с разложением сигналов в ряды Фурье вэйвлеты способны с гораздо более высокой точностью представлять локальные особенности сигналов, вплоть до разрывов 1го рода скачков.
Общий принцип построения базиса вэйвлетпреобразоваиия состоит в использовании масштабного преобразования и смещений. Любой из наиболее часто применяемых вэйвлетов порождает полную ортонормированнуто систему функций с конечным носителем, построенных с использованием масштабного преобразования и сдвигов. Именно за счет изменения масштабов вэйвлеты способны выявить различие характеристик в разных шкалах, а путем сдвига проанализировать свойства сигнала в разных точках на всем изучаемом интервале. В силу свойства полноты этой системы возможно сдавать обратное преобразование. При анализе нестационарных сигналов за счет свойства локальности вэйвлеты получают существенное преимущество перед преобразованием Фурье, которое дает
нам только глобальные сведения о частотах масштабах исследуемого сигнала, поскольку используемая при этом система функций синусы, косинусы или комплексные экспоненты определена на бесконечном интервале. Однако, используются и более общие определения вэйвлетов и их разные модификации, допускающие применение довольно широкого класса функций.
Литература


Особой задачей является получение вэйвлетных разложений в случае неравномерной сетки, поскольку обычно применяемое на равномерной сетке преобразование Фурье в условиях неравномерной сетки выполнить затруднительно. Оказалось, что использование биортогоиальной системы функционалов позволяет построить вэйвлетные разложения и при произвольном измельчении сетки это ведет к упрощениям и в случае равномерной сетки. Весьма важны случаи, когда исходные данные естественным образом связаны с некоторым многообразием примерами могут служить цифровые потоки значений мощности излучения от поверхности тел различной формы сферической, тороидальной И др. К вэйвлетным всплссковым разложениям пространств полиномиальных и тригонометрических сплайнов имеется естественный интерес пространства этих сплайнов легко строятся и обладают асимптотически оптимальными по поперечнику апироксимацнонными свойствами. Известно, однако, что построение ортогональных в Ьп разложений весьма затруднительно даже на. Ранее рассматривались вэйвлетные разложения пространств сплайнов, порождаемые дифференциальным распространением биортогональной к координатным сплайнам системы функционалов определяемых с помощью производных генерирующей функции. Однако в тех случаях, когда величины производных генерирующей функции нс известны, приходится ограничиваться необходимо лишь значениями самой функции. В данной работе получен новый вариант вэйвлетиого разложения пространства сплайнов это разложение индуцируется разностным распространением упомянутой выше системы функционалов, построенных с помощью операций проектирования лагранжева типа, что позволяет строить вэйвлетные разложения, используя лишь упомянутую функцию. Цель диссертационной работы. Целыо работы является построения вэйвлетиых разложений пространств полиномиальных и тригонометрических сплайнов лагранжева типа на неравномерных сетках. Методы исследования. В диссертации используются методы линейной алгебры и теории функций вещественного переменного. Для построения биортогональной системы функционалов применены методы функционального анализа. Разработаны способы продолжения на системы функционалов, бпортогональной системы полиномиальных сплайнов кроме того, найдены продолжения системы функционалов, биортогональной системы тригонометрических сплайнов. Предложены новые простые варианты проектирования объемлющая пространства па пространства полиномиальных и тригонометрических сплайнов. Построены взйвлетные всплесковые разложения полиномиальных и тригонометрических сплайнов пространств лагранжева типа па последовательности неравномерных измельчающихся сеток. Даны формулы декомпозиции и реконструкции числовых потоков генерируемых исходной функцией класс Са,3. Исследованы свойства аппроксимации и устойчивости предлагаемых алгоритмов. Проведена их численная апробация на модельных примерах. Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Теоретическая и практическая полезность. Данная работа носит теоретический характер, однако полученные результаты могут быть применены для создания эффективных алгоритмов решения многих прикладных задач, связанных с обработкой больших потоков числовой информации, в частности, к обработке изображений, к задачам интерполяции и аппроксимации, к численному решению ряда, задач математической физики. Апробация работы. Полученные результаты обсуждались на докладывались на ХЬ международной научной конференции Процессы управления и устойчивость С. Петербург, апреля г. ХЫ международной научной конференции Процессы управления устойчивость С. Петербург, апреля г. СПбГУ в году, математикомеханического факультета. Публикации. Основные результаты опубликованы в б работах, в том числе 2 статьи в журналах, входящих в список изданий рекомендованных Высшей аттестационной комиссией на момент публикации см. Работы автора но теме диссертации в конце списка литературы. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы. Текст диссертации изложен па 0 страницах, содержит рисунков и 3 таблицы. Список литературы содержит названия. Содержание работы.