Исследование оптимального управления решениями начально-конечной задачи для неклассических моделей математической физики

• Автор: Дыльков, Андрей Геннадьевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Магнитогорск
• Количество страниц: 114 с. : ил.

Содержание

Обозначения и соглашения

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Аналитические вырожденные группы операторов . .

1.2 Аналитические вырожденные полугруппы операторов

1.3 Классическое решение начальноконечной задачи . .

1.4 Относительная резольвента гильбертово

сопряженного оператора.

1.5 Задача Штурма Лиувилля на геометрическом графе

2 Математическая модель Хоффа на графе

2.1 Описание математической модели Хоффа на графе .
2.2 Сильное решение в математической модели Хоффа .
2.3 Оптимальное управление в модели Хоффа
2.4 Необходимые условия оптимальности управления . .
2.5 Алгоритм численного метода и описание комплекса программ для нахождения оптимального управления
в математической модели Хоффа на графе.
2.6 Вычислительный эксперимент.
3 Математическая модель Дзекцера на графе
3.1 Описание математической модели Дзекцера на графе
3.2 Сильное решение в математической модели Дзекцера
3.3 Оптимальное управление в модели Дзекцера.
3.4 Необходимые условия оптимальности управления . .
3.5 Алгоритм численного метода и описание программы для нахождения оптимального управления в математической модели Дзекцера на графе
3.6 Вычислительный эксперимент.
Заключение
Список литературы


Аналитические вырожденные группы операторов . Классическое решение начально-конечной задачи . Описание математической модели Хоффа на графе . Сильное решение в математической модели Хоффа . Необходимые условия оптимальности управления . Хоффа на графе. Вычислительный эксперимент. Оптимальное управление в модели Дзекцера. Необходимые условия оптимальности управления . Вычислительный эксперимент. Wp(H) — пространства Соболева и т. Причем здесь и далее через Q обозначена некоторая область пространства Rn, п е N. Элементы множеств обозначаются строчными буквами латинского или греческого алфавитов. L — ядро оператора L, im L — образ оператора L, dom L — область определения оператора L. Символами П и О обозначаются соответственно «единичный» и «нулевой» операторы, области определения которых ясны из контекста. Если пространство X = 2), то мы пишем С(Х) вместо С(ХХ) и С1{Х) вместо С1(ХХ). Символом в-Нт обозначается предел последовательности операторов в сильной (поточечной) топологии. Символ <1 лежит в конце доказательства. Пусть С = С(5? Ш = {К} — множество вершин, а (Н = {Е3} — множество ребер; причем каждое его ребро Е3 имеет длину 6 и площадь поперечного сечения ( € К+. X] (^ ) 0) = 3? Хтп(^>1тп) Хп(. ЛкХкз^Лк) = о, (0. Хц ”Ь Х}Ш ~ ос3х3 -}- 1 3, (0. Зх3$$ 0сХу$з$$ ”Ь "ух3 -Ь хл3. Условие (0. Заметим, что в этом условии «отсутствовать» не значит «быть равным нулю». Например, если в некоторую вершину Уг все ребра входят, то первые два равенства в (0. Условия (0. В случае, если граф состоит из одного циклического ребра (и одной вершины), то условия (0. Уравнения (0. Здесь функции Xj(t, s) показывают отклонение балок от вертикали; параметры А; Є R+, ocj Є R характеризуют нагрузку и свойства материала балок соответственно. Уравнения (0. Здесь функции x3(tys) — напор на подошве j-ro пласта, параметры а Є R+, А,/? К характеризуют среду, причем параметр А может принимать и отрицательные значения. Разрешимость начально-краевых задач для уравнений Хоффа и Дзекцера и другие, связанные с этими уравнениями вопросы исследовались в работах Г. А. Свиридюка и его учеников В. О.Г. Китаевой [), H. A. Манаковой [, ], В. В. Шсмстовой [], И. О. Пивоваровой [, ], A. A. Баязитовой [1], Д. Е. Шафранова (] и др. Нас будут интересовать решения задач (0. Ргп(х(0) - Хо) = о, Pftn(x(r) - хт) = 0, (0. Had — замкнутое и выпуклое подмножество допустимых управлений в гильбертовом пространстве управлений U. Задача (0. Физический смысл задачи оптимального управления для линейной модели Хоффа заключается в том, чтобы конструкция из двутавровых балок с минимальными затратами на управление приняла требуемую форму. Задача (0. Для линейной модели Дзекцера физический смысл задачи оптимального управления — эффективное регулирование потоков грунтовых вод в системе пластов. X,? Ь € ? М Е В Е ? Н;<$), причем кег? X, т 6 R+. Задача (0. Вектор-функцию a; ? Н](Х) назовем состоянием системы (0. Зафиксировав хо,хТ, У, воздействие на систему (0. В конкретных моделях, встречающихся на практике, на функцию управления, как правило, появляются некоторые естественные ограничения, что приводит к необходимости рассмотрения некоторого замкнутого и выпуклого множества И ad — множества допустимых управлений. Исследовать задачу (0. Lx = Mx + f, (0. Цель работы — исследование математических моделей оптимального управления решениями начально-конечной задачи для процессов, описываемых линейными уравнениями Хоффа и Дзекцера, заданными на графе, с последующей разработкой алгоритма численного метода решения изучаемых задач.