Алгоритмы вычисления цен опционов в дискретных моделях со скачками

• Автор: Никоненко, Наталья Дмитриевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 149 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Глава 1. Исследование задачи о рандомизированной остановке при

среднеквадратичном хеджировании и численный метод ее решения.

1.1. Аппроксимация конечной последовательности случайных величин

последовательностью стохастических интегралов

1.2. Задача о рандомизированной остановке

1.3. Решение внутренней задачи.

1.4. Решение внешней задачи

1.5. Случай мартингальной меры.

1.6. Достаточное условие существования решения.

1.7. Случай, когда известна смешанная стратегия и ее исполнение происходит в финальный момент времени.
1.8. Сравнение задачи о рандомизированной остановки и задачи о марковской
остановке
Выводы к первой главе
Глава 2. Процессы Леви, их обобщения в задачах моделирования случайных процессов, эквивалентые мартингальные меры и исследования оптимальных
портфелей
2.1.Общие сведения о процессах Леви , характеристическая функция процесса Леви, мера Леви
2.2. Дискретизация процессов Леви по времени. Мера Леви конечная.
2.3. Дискретизация процесса Леви по состоянию. Бесконечная мера Леви.
2.4. Некоторые обобщения дискретизированных по состоянию моделей под управлением процессов Леви.
2.5. Условнопуассоновские модели. Хеджирование в среднем
Выводы ко второй главе.
Глава 3. Анализ быстрых алгоритмов расчета справедливых цен и их реализация на кластере.
3.1. Методы расчета справедливых цен. Метод деревьев для определения
опционов в дискретизированных процессах Леви
3.2. Реализация информационного дерева при решении задачи вычисления
условных математических ожиданий и рандомизированной остановке.
3.3. Выбор схемы реализации алгоритмов.
3.4. Параллельные алгоритмы и их реализация.
3.5. Оценка и сравнение алгоритмов
Выводы к третьей главе.
Заключение.
Литература


Нумерация определений и утверждений сплошная внутри каждой главы. При этом принята двойная система нумерации: первая цифра указывает номер главы, вторая цифра указывает номер определения или утверждения. Тоже касается формул, таблиц, рисунков. Работа проиллюстрирована рисунком, 6 таблицами и изложена на 9 страницах. Исторический обзор. Понятие случайной величины было формализовано в работах А. М. Ляпунова (-), П. Леви (-), А. Н. Колмогорова^ 3-) в XX веке. Современный период развития теории вероятностей начался с установления аксиоматики (подробнее см. В -х годах XX столетия А. Я. Хинчин (-), А. Н. Колмогоров, Е. Е. Слуц-кий(-) и П. Леви установили тесную связь между теорией вероятностей и теорией функций. Одномерные устойчивые распределения исследованы в -х годах XX века такими учеными как П. Леви, Дж. Пойа (-), А. Я. Хинчиным, одномерные и многомерные безгранично делимые распределения изучались в -е годы XX века А. Н.Колмогоровым, П. Леви, А. Я. Хинчиным. Кроме того, П. Леви и А. Я. Хинчиным были предложены разные формулы характеристической функции для безгранично делимых распределений, но при этом каждая из этих формул может быть выведена из другой. Данным формулам предшествовала формула характеристической функции безгранично делимой случайной величины с конечной дисперсией, предложенная А. Н. Колмогоровым. Исторически теория случайных процессов имеет два источника. С одной стороны, это - работы A. А. Пуанкаре ( - ) [9]. А.Н. Колмогоровым были заложены основы теории марковских процессов. Общее определение стационарных процессов и доказательство важнейших их свойств принадлежат А. Я. Хинчину. Французский математик П. Леви был первым в исследовании процессов с независимыми и стационарными приращениями, сейчас известными как процессы Леви. П. Леви определил [, ] структуру процессов с независимыми приращениями, и таким образом структуру безгранично делимых распределений в то же время. Кроме того, П. Леви привел ключевые примеры процессов в непрерывном времени и привел инструменты, необходимые для построения непрерывных стохастических моделей. Отметим, что процессы Леви относятся к классу безгранично делимых процессов. С исследованиями в данном направлении можно ознакомиться в [5, , , ]. Основные теоретические факты. В данной работе экспоненциальные процессы Леви применяются для моделирования поведения цены рискового актива (акции). Исследуются производные финансовые инструменты от данного основного финансового инструмента. Рассмотрим сначала основные факты, связанные с процессами Леви. Предложение 1. Теорема Леви-Хинчина для безгранично делимых распределений). Яа, удовлетворяющая 1/({о}) = 0 И ||д:|2 л ^(сй:) < оо, и те Ял. Представление Ф(0) в 1) относительно А,у и т является единственным. Rd [2]. Ф) = Ее,вх' =е'пв где *? А°)+Кт> °)+ jie'{e‘x) ~1" К°> ХУd{. Отметим, что существует два подхода к получению формулы Ле-ви-Хинчина. A.B. Скороход в [] придерживается вероятностного подхода. А.Я. Хинчин [] , Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогоров [8], Л. Брейман [] используют аналитический подход. Рассмотрим основные инструменты финансовой математики, которые использовались при написании данной работы. Теория арбитража является ключевой для производных финансовых инструментов. Согласно принципу отсутствия арбитража любая модель рынка должна быть устроена таким образом, что инвестор не может получить прибыль без риска при отсутствии начального капитала. Принцип арбитража введен еще основоположником финансовой математики Л. Башелье в []. Новый импульс развитию финансовой математики был придан работами Ф. Блэка, М. Шоулса и Р. Мертона [, ]. Впервые результаты об эквивалентности условия отсутствия арбитража и существования согласованного правила формирования цены были опубликованы в работах С. Росса [1]. В настоящее время теория арбитража является активной областью исследований, в частности, большое внимание привлекают модели с издержками: условия безарбитражно-сти в моделях с дискретным временем рассматривались в работах Ю. Кабанова, М. Рашоньи и С. Стрикера [], К. Кавал и И. Молчанова [] и других.