Методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений и вопросы идентификации на примере задачи управления производством электроэнергии

• Автор: Беликов, Виктор
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Радом.
• Количество страниц: 142 с. : ил.

Введение

1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1.1. Общие понятия

1.2. Линейные стохастические уравнения

1.3. Стохастические дифференциальные уравнения Ито

1.4. Стохастические дифференциальные уравнения Стратоновича

1.5. Стохастическое разложение Тейлора

. Детерминистические разложения Тейлора

. Разложение ИтоТейлора

. Разложение СтратоновичаТейлора

О. Приближения кратных интегралов Стратоновича Е. Генерирование кратных интегралов Стратоновича Г. Связи между кратными интегралами Ито и Стратоновича
2. СТАХОСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ДИСКРЕТНОМ ВРЕМЕНИ
2.1. Методы аппроксимации и интерполяции
. Аппроксимация Эйлера
. Интерполяция в дискретном времени
2.2. Кусочная аппроксимация и сильная сходимость
. Критерий абсолютной ошибки
. Доверительные интервалы для абсолютной ошибки
. Порядок сильной сходимости
2.3. Аппроксимация моментов и слабая сходимость
. Средняя ошибка
. Систематическая и статистическая ошибки
. Порядок слабой сходимости
2.4. Численная устойчивость
. Численная устойчивость в детерминистическом случае
. Жесткие стохастические дифференциальные уравнения
. Численная асимптотическая устойчивость
3. СИЛЬНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ СХЕМЫ
3.1. Сильная схема Тейлора
. Схема Эйлера
. Схема Мильштснна
. Сильная схема Тейлора порядка 1.5 Э. Сильная схема Тейлора порядка 2.
3.2. Явные сильные схемы
. Явные сильные схемы порядка 1.
. Сильная явная схема порядка 1.
. Сильные явные схемы порядка 2.
Р. Двухшаговая сильная схема порядка 1.0 Е. Двухшаговая сильная схема порядка 1.
3.3. Неявные сильные схемы
. Неявная схема Эйлера
. Неявная схема Мильштсйна
. Неявные сильные схемы Тейлора порядков 1.5 и 2.
и. Неявные сильные схемы РунгеКутта
Е. Неявные сильные двухшаговые схемы
4. СЛАБЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ СХЕМЫ
4.1. Слабые схемы Тейлора
. Слабая схема Эйлера
. Слабая схемы Эйлера порядка 2.
. Слабая схема Тейлора порядка 3.
Э. Слабые схемы Тейлора порядка 4.
4.2. Явные слабые схемы
. Явные слабые схемы порядка 2.
. Явная слабая схема порядка 3.
4.3. Неявные слабые численные схемы
. Неявные схемы Тейлора
. Слабые неявные схемы порядка 2.
. Метод типа предикторкорректор
Э. Методы типа предикторкорректор порядка 2.
5. ПРИМЕНЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПРАКТИЧЕСКИХЗАДАЧАХ
5.1. Модель поведения одного потребителя
. Идентификация параметров модели
. Исследование свойств метода идентификации
. Численный пример
5.2. Модель поведения нескольких потребителей
. Идентификация параметров модели
. Численное моделирование
. Численный пример Заключение Литература Приложения

Введение


В данной работе рассмотрены основные вопросы теории стохастических дифференциальных уравнений, показаны различные численные методы решения, а также приведены примеры использовании стохастических дифференциальных уравнений для решения практических задач. В природе существует достаточное большое количество явлений, которые требуют описания своих моделей функционирования обыкновенными дифференциальными уравнениями, но при этом процессы, относящиеся к этим явлениям, обладают характерными случайными возмущениями 3, 5. В этом случае непосредственное использование аппарата обыкновенных дифференциальных уравнений может привести к некорректной идентификации модели исследуемого объекта. Поэтому можно попытаться представить некоторые коэффициенты дифференциального уравнения как случайные величины, и получить более реалистическую математическая модель исследуемого объекта. Проиллюстрируем это на примерах. Рассмотрим модель роста простой популяции
0 , 1. Лг размер популяции в момент времени и я относительный уровень роста в момент времени . Поэтому функция является неслучайной. ЧОлбМбО 1. И0Г. Полученные из обыкновенных дифференциальных уравнений путем введения случайных компонент уравнения называется стохастическими дифференциальными уравнениями . На самом деле, стохастические дифференциальные уравнения нашли применение во многих дисциплинах, включая инженерные науки, экономику и финансы, окружающую среду, физику, демографию и медицину , , , , , , . Рассмотрим еще несколько таких примеров. Теперь предположим, что с целыо улучшения наших знаний о решений представим наблюдения как случайные значения величины электрического заряда в момент времени . Так в этом случае имеется два источника шума, второй источник возникает изза ошибки измерения. Какова будет лучшая оценка 2, удовлетворяющая 1. Теперь задача состоит в фильтровании шума из наблюдений оптимальным путем. В году Кальман и в году Кальман и Бучи доказали, что такое возможно при помощи фильтра Кальмана Буче. Фильтр дает процедуру для оценивания состояния системы, которое удовлетворяет шуму линейного дифференциального уравнения, основанного на ряде наблюдений шума. Наиболее ярким примером является стохастическое решение проблемы Дирихле. Задана область V в пространстве и непрерывная функция в границе и удС. У
гармоникой Цу например Д V 0 на V. V у тогда броуновское движение начинается хеЦ. Это привело к тому, что показало только вершину айсберга для большого класса полуэллиптических дифференциальных уравнении в частных производных второго порядка соответствующие значение границы проблемы Дирихле может быть решн путм использования стохастического процесса, который является решением аналогичного стохастического дифференциального уравнения. Предположим, что агент имеет акции пли ресурсы дома, акции, нефть. Коэффициент дисконтирования обозначается через р. Предположим, что агент знает поведение Xг до момента времени , но изза шума в системе он не может быть уверен в моменте продажи, особенно в том, что продажа осуществляется в наилучшим моменте времени. Этот момент времени называется оптимальной остановкой, которая дает наилучший результат в долгосрочном периоде, например, максимизация ожидаемого дохода с учетом инфляции. Проблема остановки вызывает то, что решение может быть выражено как решение соответствующей задачи граничных значений или в терминах вариационных неравенств , . Х,аХ,1ум Ж
где Ь является постоянной, 0 Ьа . Предположим, что в момент времени 0 агент обладает правом, но не обязанностью, покупки одной единицы рискового актива по оговоренной цейс Сив определнный момент времени Г. Такое право называется европейским опционом типа КОЛЛ. Какую цену захочет заплатить особа за такой опцион Эта проблема была решена, когда Фишер Блэк и Мирон Шоулс использовали стохастических анализ для вычисления теоретического значения цены, что теперь носит имя известной формулы Блэка Шоулса для определения цены опциона. Теоретическое значение хорошо совпадает с ценой, которая уже была представлена как равновесная цена на свободном ринке. Теперь определим стохастические дифференциальные уравнения более точно. Обыкновенное дифференциальное уравнение
1.