Инвариантные геометрические методы качественной теории моделирования и управления системами с нелинейной динамикой

• Автор: Никульчев, Евгений Витальевич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 317 с. : ил.

1.1. Обзор методов моделирования и исследования нелинейных

систем.

1.2. Математические модели нелинейных систем.

1.3. Качественное исследование динамических систем.

1.4. Геометрический подход к исследованию фазовых портретов

1.5. Топологическая классификация грубых состояний равновесия

Выводы по главе.

ГЛАВА 2. АППАРАТ ГРУПП СИММЕТРИЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ МОДЕЛЕЙ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ.

2.1. Групповой анализ нелинейных систем с управлением

2.3. Методика группового анализа систем с управлением

2.3.1. Применение классификации систем, допускающих группы симметрий для анализа решений
2.3.2. Методика исследования групповых систем.
2.3.3. Методика исследования симметрий по состоянию.
2.4. Аппарат непрерывных симметрий дискретных моделей
2.5. Группы симметрий фазового пространства
Выводы по главе
ГЛАВА 3. РЕДУКЦИЯ НА ЦЕНТРАЛЬНОЕ МНОГООБРАЗИЕ СИСТЕМ, ДОПУСКАЮЩИХ ГРУППЫ СИММЕТРИЙ
3.1. Методика анализа динамики систем, допускающие симметрию на инвариантном торе.
3.1.1. Методика исследования в инвариантном торе.
3.1.2. Использование групповых свойств для построения эквивалентных отображений
3.2. Метод моделирования систем, редуцированных на инвариантное многообразие в локальной области.
3.2.1. Исследования инвариантного многообразия
3.2.2. Метод редукции систем на центральное многообразие
3.3. Обобщение теоремы о центральном многообразии для систем,
допускающих группы симметрий.
Выводы по главе
ГЛАВА 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ С НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКОЙ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ
4.1. Оценка показателей Ляпунова по временному ряду
4.2. Методика использования свойств показателей Ляпунова для моделирования
4.2. Методы расчета показателей Ляпунова.
4.3. Разработка алгоритмов оценки показателей Ляпунова по временному ряду.
4.4. Разработка алгоритмов оценки инвариантных характеристик
4.5. Модифицированный метод реконструкция аттракторов для систем, допускающих группы симметрий.
4.6. Метод моделирования нелинейных систем по экспериментальным
данным.
Выводы по главе
ГЛАВА 5. РАЗРАБОТКА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПОСТРОЕНИЯ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
5.1. Постановка задачи проектирования алгоритмов управления в системах с нелинейной динамикой.
5.2. Разработка геометрических принципов управления
5.2.1. Геометрическое представление фазовых потоков и задач управления.
5.2.2. Геометрические критерии управляемости и достижимости
5.3. Методики построения алгоритмов управления.
5.3.2. Редукция к исследованию множества достижимости
5.3.1. Построение алгоритмов управления на основе параметрического периодического воздействия для систем малой размерности
5.3.3. Геометрический метод построения алгоритмов управления.
5.3.4. Методика исследования управляемых систем на основе принципа усреднения
5.4. Геометрический метод паретооптимального управления.
Выводы по главе
ГЛАВА 6. ТЕХНОЛОГИЯ ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ.
6.1. Технология обеспечения повышения качества функционирования управляемых систем.
6.2. Методика применения прогнозирующих моделей
6.3. Управление системой теплообмена с вязкой средой.
6.4. Управление процессом охлаждения алюминиевых слитков.
Выводы по главе
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ


Анализ публикаций по использованию инвариантных характеристик, показывает, доведено до практического применения в основном моделирование на основе нейросетевых и нечетких моделей . В области управляемых систем, такие модели ограничивают методы управления адаптивным подходом, что не позволяет в полной мере использовать нелинейную теорию динамических систем. Все это позволяет сделать вывод о том, что для применения в промышленности необходимо разработка метода идентификации систем с нелинейным динамическим поведением и создание принципов управления полученных моделей. Реконструкция систем по экспериментальным данным. Проблема определения вида динамической системы по ее одномерной реализации относится к классу некорректных задач. В отличие от задачи анализа данная проблема неоднозначна, т. Метод глобальной реконструкции уравнений динамической системы по ее одномерной реализации, был предложен в 9, 0. Алгоритм состоит в следующем. По одномерной реализации процесса в некоторой системе, которая считается черным ящиком, восстанавливается фазовый портрет, по теореме Такенса, топологически эквивалентный аттрактору исходной системы 2. По априорно заданным уравнениям, находятся методом наименьших квадратов набором неизвестных коэффициентов. В настоящее время имеется значительное количество работ, развивающих и совершенствующих предложенный метод 9, , 2, 3, 4, 1, 0, 1, 6 и др Например, в работах Р. Брауна и др. При получении уравнений учитывались значения показателей Ляпунова 8 и плотности вероятности, рассчитанные по исходному временному ряду. Однако результирующие эволюционные уравнения имели очень громоздкий вид, неудобный для применения. В работе 0 для записи модельных уравнений использовались скрытые переменные. В 9 описывается метод синхронизации модели с исходными данными. В ряде работ О. Л. Аносова предложен алгоритм восстановления скалярного дифференциального уравнения для систем с задержкой. Однако, особенностью многих работ, является то, что предлагаемые методы проиллюстрированы на примерах простых маломерных модельных систем, когда заранее известно, каким должен быть результат глобальной реконструкции. Описываемые в доступных публикациях, алгоритмы тестируются на ряде известных модельных систем, имеющих малую размерность и достаточно простой вид правых более простым способом 9. Классический алгоритм реконструкции 9 можно представить следующим образом. Д i нелинейные функции. Если размерность минимального инвариантного пространства пространства вложения определена, фазовый портрет исходной системы восстановлен, то основная проблема на данном этапе состоит в конкретизации вида функций у в правых частях искомых уравнений. Выбор вида функций 7 осуществляется достаточно произвольным образом. Часто, конкретный вид функций 7 получают опытным путем в результате перебора всевозможных известных способов 7. Во многих публикациях представляются в виде суперпозиции некоторых базисных функций, как правило, используются разложения Теэйлора или Лежандра. Можно выделить следующие особенности и недостатки существующих алгоритмов реконструкции. Основной проблемой является выбор нелинейных функций в правых частях модельных уравнений. Если для задания координат вектора состояния используется метод последовательного дифференцирования, то математическая модель будет содержать только одну неизвестную функцию. Наиболее простой используемый способ задания нелинейности состоит в полиномиальной аппроксимации. В ряде ситуаций такой подход может оказаться полезным. Однако при работе с экспериментальными временными рядами, порожденными системами с неизвестным оператором эволюции, проблема подбора нелинейностей остается не решенной задачей. Сложная проблема состоит в необходимости работать с зашумленными данными при обработке экспериментальных временных рядов. С одной стороны, более желательным является использование метода последовательного дифференцирования для восстановления фазовой траектории, поскольку при этом можно получить модель, содержащую в общем случае приблизительно в п раз меньше коэффициентов при различных нелинейностях, чем при использовании задержки.