Топологические методы в алгебраической геометрии: жесткость и двойственность

• Автор: Ягунов, Сергей Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.06, 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 188 с.

Оглавление

Терминология и Обозначения

Введение

Глава I. Основные понятия

1.1. Пространства

1.2. А1гомотопическая категория

1.3. Т спектры

Глава II. Теории когомологий на категории алгебраических

многообразий

.1. Функторы когомологий

.2. Построение класса Тома

.3. Ориентируемые Тспектры
.4. Гомотетическая инволюция
.5. О некоторых произведениях в когомологиях
.6. Примеры функторов когомологий
Глава III. Жесткость для теорий когомологий
III. 1. Функторы со слабыми трансферами
III.2. Случай ориентируемых теорий
II 1.3. Неориентируемый случай
II 1.4. Теоремы жесткости
III.5. Жесткость для Гензелевых локальных колец
Глава IV. Теорема двойственности Пуанкаре
1У.1. Теорема двойственности Пуанкаре
IV.2. Доказательство Первой формулы проекции
1У.З. Доказательство Второй Формулы Проекции
1У.4. Теорема, двойственности Пуанкаре для мотивов.
Приложение
. Вспомогательные геометрические конструкции
. Некоторые свойства трансфера
Список цитируемой литературы


Какие новые связи между «классическими» понятиями могут быть обнаружены, глядя с «мотивной точки зрения»? Настоящая диссертация посвящена частичным ответам на вопросы из этих классов. Остановимся, вкратце, на ее структуре. В главе I мы даем краткое (лишенное доказательств) введение в А^гомотопическую теорию и определяем некоторые фундаментальные понятия (такие, например, как пространство или Т-спектр), нужные нам в дальнейшем. В главе II вводится аксиоматика теории когомологий на категории алгебраических многообразий (аксиомы ПЛ . Тома (раздел . Наконец, в этой же главе (раздел II. Помимо перечисления классических примеров этальных когомологий и /С-функтора, мы уделяем внимание построению произведений и классов Черна для мотивных когомологий (диаграмма . Также в подразделе Н. Черна (стр. Теоремы э/ссстптсостпи. Основной темой, рассматриваемой в главе III, является феномен жесткости. Допуская некоторую вольность в изложении, можно сказать, что свойство жесткости состоит в том, что гомоморфизм специализации группы когомологий в рациональную точку гладкого неприводимого алгебраического многообразия не зависит от выбора точки (см. Интуитивно, соотношение между этими двумя понятиями, соответствует соотношению между алгебраически эквивалентными и рационально эквивалентными циклами, но вместо циклов мы рассматриваем соответствующие группы когомологий слоев. Будучи переформулированными в контексте классической топологии эти два свойства, очевидно, становятся эквивалентными. Классификация алгебраически эквивалентных циклов на алгебраических многообразиях и взаимодействие алгебраической и рациональной эквивалентности, а следовательно, и вопросы жесткости в приложении к группам Чжоу, изучались в алгебраической геометрии более ЗОи лет назад (см. Феномен жесткости в том виде, в котором мы его и рассматриваем, впервые был изучен для К"-функтор а в работе А. А.Суслина []. Необходимость исследования подобного свойства алгебраического К-функтора была вызвана подходом автора к гипотезе Лихтенбаума (Lichtenbaum conjecture), дающей описание К-групп полей. В цитируемой статье автор доказывает важное для приложений следствие из теоремы жесткости, а именно, что выполнение условия жесткости для функтора влечет изоморфизм Kj(F) = Ki(G) для расширения алгебраически замкнутых полей F С G. Отсюда, в частности, следует, что условие жесткости не эквивалентно гомотопической инвариантности. Рассматривая случай i = 1, мы получим абсурдное утверждение F* = G*. Однако, с конечными коэффициентами жесткость выполнена для алгебраической if-теории. Другим важным следствием жесткости является утверждение о поведении /С-функтора для гензелизации алгебраического многообразия в рациональной точке. Этот результат был получен Сус-линым (неопубликовано), а также независимо от него Офером Габ-бером (Ofer Gabber) []. Аналогичное утверждение при немного других условиях доказывается в работе Жилле-Томасона (Gillet— Thomason) []. Рассмотрим алгебраическое многообразие X над некоторым полем к и обозначим через Xfo гензелизацию этого многообразия в неособой к-точке М. Тогда для /G-групп с конечными коэффициентами %/р, где р взаимно просто с экспоненциальной характеристикой основного поля, выполнено соотношение К{(к) = К{(Хfa). Интуитивно переход к гензелизации в точке следует воспринимать как бесконечно малую деформацию многообразия в этой точке, а утверждение говорит нам, что А'-функтор с конечными коэффициентами инвариантен относительно таких деформаций. Именно это следствие и дало название «жесткость» изучаемому явлению. В дальнейшем, свойство жесткости для алгебраических многообразий возникает в более общем контексте в работе Суслипа-Воеводского |], где авторы доказывают это свойство для когомологических функторов, снабженных трансферами (т. Эта работа еще раз подчеркнула стратегическую связь доказательства свойства жесткости и наличия некоторых трансферов в рассматриваемой теории когомологий. Различные аспекты свойства жесткости для АГ-фупктора исследовались и многими другими авторами (см. III).