Алгебраическая геометрия над свободной метабелевой алгеброй Ли

• Автор: Даниярова, Эвелина Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 193 с.

1. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1 Л. Предварительные сведения о метабелевых алгебрах Ли

1Л Л. Определение метабелевой алгебры Ли

1Л .2. Определение радикала Фиттинга

1Л .3. Структура модуля на радикале Фиттинга

1Л .4. и-алгебры

1Л .5. Система порождающих элементов и определяющих соотношений

1.1.6. Расширения метабелевых алгебр Ли

1.1.7. Расширения радикала Фиттинга

1.1.8. Прямые суммы метабелевых алгебр Ли

1.1.9. Модульная структура на радикале Фиттинга

прямой суммы метабелевых алгебр Ли
1.1.10. Матричные метабелевы алгебры Ли
1.2. Элементы алгебраической геометрии над алгебрами Ли
1.2.1. Категория А -алгебр Ли
1.2.2. Логический язык категории А -алгебр Ли
1.2.3. Основные понятия алгебраической геометрии

1.2.4. Категория алгебраических множеств
и категория координатных алгебр
1.2.5. Теорема об эквивалентности категории
алгебраических множеств и категории координатных алгебр
1.2.6. Топология Зариского
1.2.7. Нетеровы по уравнениям алгебры

1.2.8. Универсальные классы
1.2.9. Логический аспект алгебраической геометрии в нетеровом случае
1.3. Свободная метабелева алгебра Ли
1.3.1. Канонический базис свободной метабелевой алгебры Ли
1.3.2. Решение уравнений над алгеброй 7^
1.3.3. Примеры алгебраических множеств над алгеброй Д
1.3.4. Категория/^-алгебр
1.3.5. Д-и-алгебры со свойствами 11-1, ГГ
2. КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА
2.1. 0-идеалы
2.1.1. Линейные идеалы
2.1.2. (}-идеалы
2.1.3. Линейные гомоморфизмы
2.2. 0-модули
2.2.1. Определение, свойства и примеры О-модулей
2.2.2. Структура О-модуля: примарное разложение
2.2.3. Изолированные 0-модули
2.2.4. Вырожденные 0-модули
2.2.5. Системы модульных уравнений
3.МЕТАБЕЛЕВЫ О-АЛГЕБРЫ ЛИ
3.1. 0-алгебры
3.1.1. Определение и свойства 0-алгебр
3.1.2. Примарное разложение 0-алгебр
3.2. Рг -О-алгебры

3.2.1. Гг-0-алгебры со свойствами 0-1, 0-2, 0
3.2.2. Примарное разложение Рг -0-алгебр
3.2.3. -гомоморфизмы
3.2.4. Пример Гг-0-алгебры со свойствами 0-1, 0-2, 0
4. АКСИОМЫ
4.1. Универсальные аксиомы в языке первой ступени теории алгебр Ли
4.1.1. Аксиоматика 0-алгебр
4.1.2. Аксиоматика и-алгебр
4.1.3. Случай бесконечного поля
4.2. Квазиэквациональная теория алгебры Гг
4.3. Универсальная теория алгебры Рг
5. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
5.1. Координатные алгебры над Д
5.1.1. Классификация координатных алгебр над Рг
5.1.2. Классификация неприводимых координатных алгебр над /гг
5.2. Алгоритмические проблемы
5.3. Алгебраические множества над
5.3.1. Классификация неприводимых алгебраических множеств
над алгеброй Рг
5.3.2. Произвольные алгебраические множества над Рг
5.3.2. Классификация алгебраических множеств в размерности один
5.3.3. Размерность
Список литературы

алгебраического множества однозначно определяет это множество, то есть для любых алгебраических множеств , У2 с; В" справедливо:
Следующим важным понятием для алгебраической геометрии является понятие координатной алгебры. Пусть 51 с; А[Х] - система уравнений и У с В" - ее решение, У = Уд (В). Тогда факторалгебра
называется координатной алгеброй алгебраического множества У (или системы Я). В отличие от радикала, координатная алгебра не определяет алгебраическое множество однозначно, а лишь с точностью до изоморфизма (определение изоморфизма алгебраических множеств см. ниже).
Координатная алгебра любой совместной системы уравнений Л’ а А[Х ] является Л-алгеброй Ли. Если же система .V несовместна, то Гд(5') = 0. Таким образом, координатные алгебры непустых алгебраических множеств над В порождают полную подкатегорию в категории всех А -алгебр Ли. Обозначим ее через СЛА{В).
Основной задачей алгебраической геометрии над алгеброй В является задача описания алгебраических множеств над В. Ниже будет доказано, что данная задача имеет две эквивалентные формы: описание радикалов и описание координатных алгебр. Для алгебраических множеств, их радикалов и координатных алгебр, помимо определений, существуют дополнительные подходы к каждому из этих понятий. Так, например, для координатных алгебр - подход на языке полиномиальных функций, для алгебраических множеств - на языке Нот-ов.
Определим алгебру полиномиальных функций. Пусть Гей" - алгебраическое множество. Каждый многочлен /(х х„) є А[Х] определяет на У так называемую
полиномиальную функцию / :У-> В, действующую по правилу:
Ясно, что два многочлена /,#є А[Х] определяют одну и ту же функцию на У тогда и только тогда, когда /-£ є 11ас1лв(У). Обозначим через Р,Л(Т) множество всех полиномиальных функций на множестве У с коэффициентами из алгебры А со значениями в алгебре В. На Р,в (У) естественным образом определяется структура
У1=У2 ^ Кай^ Я(Р1) = Яас1л Д(У2).