Скелеты локально-конечных конгруэнц-модулярных многообразий и многообразий решеток

• Автор: Мордвинов, Яков Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 79 с.

Оглавление
1 Введение и необходимые сведения
по теории многообразий и их скелетам
1.1 Введение
1.2 Необходимые сведения по теории многообразий
и их скелетам
2 Скелеты конгруэнц-модулярных многообразий
2.1 Скелеты локально-конечных неразрешимых многообразий
2.2 Фактор-линейная упорядоченность счетных скелетов
3 Решеточные свойства счетных скелетов
дискриминаторных многообразий
4 Скелеты многообразий решеток
4.1 Полурешеточные свойства счетных скелетов многообразий решеток
4.2 Проблема покрытия
4.3 Независимость отношений вложимости и эпиморфности

Глава 1 Введение и необходимые сведения по теории многообразий и их скелетам
1.1 Введение
При изучении строения различных классов алгебраических систем можно выделить два основных подхода: построение и изучение различных представлений систем из этого класса и изучение самого класса или систем из него при отождествлении изоморфных алгебраических систем. Такое отождествление, т. е. рассмотрение изоморфных алгебраических систем как единого объекта, типа изоморфизма, происходит в большом числе вопросов теории моделей и современной алгебры. В качестве одного лишь примера подобного вопроса назовем проблему спектра класса, т. е. нахождение числа неизоморфных систем данного класса, имеющих фиксированную мощность. А. Тарским, в монографиях [41, 51], была поставлена задача изучения различных операций и отношений, ко-
торые возникают между типами изоморфизма алгебраических систем данного класса при перенесении на типы изоморфизма “алгебраически значимых” операций и отношений между алгебраическими системами. При изучении строения многообразий, в силу теоремы Г. Биркгофа [28], описывающей многообразия как классы алгебр, замкнутые относительно подалгебр, гомоморфных образов и декартовых произведений, важнейшая роль принадлежит изучению отношений ’’быть подалгеброй”, ’’быть гомоморфным образом”и операции декартова произведения. Решению задачи А. Тарского служит изучение так называемых скелетов многообразий алгебраических систем, введенных в систематическое изучение
А. Г. Пинусом в работе [10]. С решением отмеченной выше задачи А. Тарского и связана данная диссертация.
Введем некоторые обозначения. Готическими буквами 21, £, Э с верхними и нижними индексами будем обозначать алгебры. Букву 03 (с индексами) используем только для булевых алгебр. Классы алгебр будем обозначать буквами Я, 93 (возможно с индексами). Для любого кардинала К и любого класса алгебр Я через обозначаем совокупность Я-алгебр мощности, не большей чем К.
Если Я — некоторый класс алгебр, то через ЭЯ обозначим совокупность типов изоморфизма Я-алгебр. Заметим, что традиционный вопрос о спектре класса Я является вопросом о мощностях множеств ЭЯК. Здесь Як = {21 6 Я : |21| = К}. Если а, с 6 ЭЯ, т. е. являются типами изоморфизма некоторых Я-алгебр 21, С, то пусть а < с (а с) имеет место тогда и только тогда, когда алгебра 21 изоморфна некоторой подалгебре алгебры С (21 является гомоморфным образом алгебры £). Для любого класса алгебр Я отношения <, <С являются отношениями квазипорядка на ЭЯ.

вается строго простой. В этом случае теорема 2.3 обратима. Многообразия, порожденные строго простыми абелевыми алгебрами, описываются теоремой 12.4 из книги Фриза - Маккензи [38]. Приведем часть этой теоремы.
ТЕОРЕМА Е. Пусть 51 будет конечная простая абелева алгебра, имеющая п элементов, и пусть 971 = 971(51). Тогда п есть степень простого числа. Если кроме того 51 имеет идемпотентный элемент, то
а) Каждая конечная алгебра в 971 есть (с точностью до изоморфизма) степень алгебры 51, и каждая бесконечная алгебра в 971 есть булева степень алгебры 971. Таким образом, 971 минимально.
б) Все алгебры в 971 мощности X изоморфны между собой для каждого кардинала А.