Инволюции конечных групп и выпуклые правильногранники

• Автор: Тимофеенко, Алексей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.06, 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 250 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1. Инволюции, порождающие конечную группу, и е строго вещественные элементы

1.1. Об инволюциях в группах и геометриях

1.2. Строго вещественные спорадические простые конечные группы

1.3. О параметрах, связанных с заданием конечной группы множеством порождающих е элементов.

Глава 2. Порождающие тройки инволюций спорадических групп

2.1. Группы Коксетера.

2.2. Теоремы о порождающих тройках инволюций и схема их доказательств .

2.3. Доказательство теоремы 2.2.1

2.4. Доказательство теоремы 2.2.2

2.5. Доказательство теоремы 2.2.3
2.6. Результаты вычислений
2.7. Гамильтоновы циклы графа Кэли
2.8. Мазуровские тройки групп симметрий трхмерных многогранников .
Глава 3. Выпуклые правильногранники, не рассекаемые никакой плоскостью на правильногранные части .
3.1. Теорема о несоставных многогранниках без условных рбер . .
3.2. Двойная серпоротонда М .
3.3. Уплощнная треугольная клиноротонда о
3.4. Клинокорона
3.5. Большая клинокорона Л.
3.6. Уплощнная большая клинокорона Л
3.7. Опоясанный двуклинник М
3.8. Плосконосая квадратная антипризма Мя
3.9. Плоскосный двуклнноид Л
3 Алгебраические модели некоторых несоставных многогранников без условных рбер.
3 Теорема о несоставпых телах с условными рбрами
3 Наклонная призма
3 Правильногранник Фдорова 2.
3 Многогранник Иванова 4 .
3 Многогранник Иванова .
3 Многогранник Пряхипа . .
3 Многогранник Иванова 5 .
3 Приложения
Глава 4. О соединении несоставных тел
4.1. Алгоритм синтеза составных многогранников
4.2. Теорема о строении несоставпых многогранников
4.3. Вьпгуклые многогранники с паркетными гранями
Заключение .
Приложение А. Реализация алгоритмов в системе
А.1. Алгоритмы поиска инволюций, порождающих группу .
А.2. О некоторых множествах инволюций .
Приложение Б. Построение орбит вершин, рбер и граней при действии групп движений трехмерного евклидова простран
Б.1. Конечные группы движений и группа параллельных переносов 1 Б.2. Синтез орбит граней при действии группы и их изображение . 8 Б.З. Компьютерные модели многогранника и группы его симметрий
Литература


Кроме того, по теореме Декарта суммарная кривизна всех вершин выпуклого многогранника равна 4тг и даже если рассматривать многогранники, число сторон граней у которых ограничено, то число самих этих правильных граней может увеличиваться в бесконечной серии многогранников с условными вершинами. Примером такой серии является серия соединённых своими основаниями к призм Ш/, к = 1,2,. I сторон основания. Боковыми гранями призмы А П/ являются составленные из к квадратов прямоугольники. Ю. А. Пряхин заметил [], что кроме четырёх бесконечных серий существует только конечное число типов выпуклых многогранников с равноугольными гранями или с гранями, составленными из равноугольных многоугольников. Такие грани названы им паркетными. Как нетрудно доказать, каждый угол паркетного многоугольника равен углу какого-нибудь правильного многоугольника. Поэтому каждой вершине паркетной грани можно приписать число сторон такого правильного многоугольника. Если выписать все эти числа так, что в полученном наборе любые два соседних числа, а также первое и последнее числа, соответствуют смежным вершинам, то этот набор и называется типом паркетного многоугольника. Например, прямоугольник имеет тип (4,4. Многоугольники, изображенные на рис. Рис. Определение. Пусть га целое неотрицательное число. Выпуклый многогранник называется т-правилънограпником, когда выполняются следующие условия: 1) грани составлены из правильных многоугольников, стороны которых измеряются натуральными числами; 2) наибольшая длина ребра равна га 4- 1; 3) у любого подобного многогранника с коэффициентом подобия меньшем единицы существует ребро ненатуральной длины или существует грань, которую нельзя составить из правильных многоугольников с целыми рёбрами. Таким образом, каждый выпуклый правилыюгранник является 0-пра-вильногранником. Серия многогранников М7, Mj}i = . Определение. Пусть то — целое неотрицательное число. Выпуклый гщ-правильпогранник называется составным, если некоторая плоскость делит его на mi-правильногранник и -правильнограішик для некоторых целых неотрицательных чисел пц. В противном случае то-правильногран-ник называется несоставным. Теорема 4. Кроме семи многогранников каждый несоставиой пра-вильнограниик с единичными рёбрами является несоставным 0-правиль-погранпиком. Исключения можно представить следующими соединениями т-правильнограппиков, т =0,1. Призма По — соединение по прямоугольным граням двух призм с ' трапециями типа (З2, б2) в основаниях, Пс = 6П3. Трёхскатный купол М4 = (Рг, + М) 4 (Яг, + ^2,) = 4Мі 4- ЗМ2; где -Р2, — М 4 М2 — соединение тетраэдра М и квадратной пирамиды М2 боковыми гранями. Усечённый тетраэдр Мю = (ЗМ] 4 2М2) 4 (Mi 4 ЗМ2) = 4 8М2. Мю параллельными плоскостями двух тел М%а, Мюь ~~ і-правильпогранник, оставшийся после отсечения от Мю тремя плоскостями трёх тел М%а. Рис. Рис. Наклонная призма (многогранник Иванова) Q = 6 Mi + 6Л/2. Многогранник Иванова Q2 = Mi + I6A/2. Результаты четвертой главы опубликованы в работах |, , , , , , |. Заключение указывает на список возможных приложений результатов диссертации. Приложение содержит тексты компьютерных программ на языке систем компьютерной алгебры GAP и Maple с указаниями для пользователя. Даны рекомендации для работы с расположенными на сайте ИВМ СО РАН, [], результатами вычислений и программными продуктами. С помощью компьютерных моделей, созданных на базе алгебраических моделей автора, построены все рисунки диссертационной работы. Закрашивая грани многогранников, автор придерживался следующих правил. Цвета сверхфундаментальных граней и фундаментальных граней, не являющихся свсрхфуидаментальными, выбраны разными: золотистый и серый1 соответственно. Отмстим, что на некоторых рисунках часть фундаментальных граней видна читателю с их внутренней стороны, сквозь сетку ближе к нему расположенных рёбер. При закраске всех граней ^-составного тела Р]>П1 + Р,П2 + . Р,пк > к е {2,. Р)Пг закрашивается своим цветом, который соответствует значению г: 1)красный, 2)оранжевый, 3)желтый, 4)зе-лёный, 5)голубой, б)синий. Эти цвета различаются при черно-белой печати. Числами на рисунках помечены фундаментальные вершины.