Градуированные регуляризованные кольца и теоремы плотности

• Автор: Зеленов, Сергей Вадимович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 80 с.

Содержание
Введение
Условные обозначения и термины
1 Предварительные сведения
2 Определение регулярности для колец,
градуированных по полугруппам
3 Некоторые свойства градуированных
регулярных колец
4 Теорема о слабой плотности
5 Теорема плотности для градуированных
вполне приводимых модулей
6 Критически-сжимаемые
градуированные модули
7 Теорема плотности для градуированных
слабо-примитивных колец
Список литературы

Введение
В теории колец широко известна и находит многочисленные применения теорема плотности Джекобсона: примитивное кольцо1 является плотным подкольцом кольца линейных преобразований векторного пространства над некоторым телом (см. [2], [10]).
За последние десятилетия появилось много обобщений этой теоремы на более широкие классы колец.
В работе Джонсона [11] было показано, что первичное кольцо Д, обладающее минимальными ненулевыми правым первичным и левым первичным идеалами2, является слабо транзитивным кольцом линейных преобразований. Именно, в этом случае минимальный правый первичный идеал N является (К, Я)-бимодулем для некоторой области Оре К, и для любых линейно независимых над К элементов ад,..., хп & N и произвольных а/1,, уп 6 N найдутся такие гЕЯъО^кЕК, что Х{Г = куг для всех г = 1,..., п.
Затем Кох и Мьюборн в [13] распространили этот результат Джонсона на первичные антисингулярные справа кольца с однородным правым идеалом. Другую характеризацию “типа плотности” для этих колец получил Амицур ([5]).
В работе [14] в рассмотрение были введены почти макси-
ЧУольцо В. называется примитивным, если оно обладает точным неприводимым модулем; модуль МК называется неприводимым, если МП ф 0 и М имеет ровно два подмодуля; модуль Мц называется точным, если Мг ф 0 для любого 0 у-гбй.
^Правый идеал I кольца Д называется правым первичным идеалом, если для любых двух правых идеалов Л и В кольца Д таких, что АВ С / и В ф 0, верно включение А С I.

мальные правые идеалы кольца и показано, что кольцо, обладающее таким идеалом, первично и является слабо транзитивным кольцом линейных преобразований некоторого векторного пространства над телом.
В [12] Кох и Лу вплотную приблизились к вершине в первичном случае, доказав теорему плотности для квази-простого модуля3.
Этап первичных колец венчает теорема плотности Зель-мановича для слабо-примитивного кольца4, опубликованная в [23] и [24]. Этот результат содержит в качестве частных случаев классическую теорему плотности, а также теорему Ами-цура ([5]).
Следует отметить, что и примитивные, и слабо-примитивные кольца первичны.
В работе [1] О.Д. Авраамова, пользуясь методами теории ортогональной полноты (см. [6]), доказала теорему плотности для обобщенного слабо-примитивного ортогонально полного кольца. Обобщенные слабо примитивные кольца являются по-лупервичными, но не все из них первичны.
Принципиально иным подходом к развитию сюжета, связанного с теоремой плотности, является рассмотрение градуированных колец и модулей (см. монографию [16]).
В работе [20] была обобщена классическая теорема плотности на случай примитивных колец, градуированных по группе.
3Модуль называется квази-простым, если он, во-первых, сжимаем (т.е. вложим в каждый свой ненулевой подмодуль), а во-вторых, кольцо эндоморфизмов его квазиинъективной оболочки является телом.
4Кольцо называется слабо-примитивным, если оно обладает точным критически-сжимаемым модулем; модуль называется критически-сжи-маемым, если он, во-первых, сжимаем, а во вторых, не может быть вложен ни в какой свой собственный фактор-модуль.

3 Некоторые свойства градуированных регулярных колец
3.1. В пределах этого раздела предполагается, что кольца ассоциативны, градуированы по моноидам, и кроме того содержат единицу.
3.2. Как известно (см. [16, Corollary С.1.5.3], см. также прямое доказательство в [21, Theorem 3]), если кольцо Л строго градуировано по группе с единицей ей Re регулярно, то и R регулярно.
Здесь мы покажем, что для случая, когда кольцо градуировано по полугруппе (которая необходимо является регулярным моноидом с единицей е), этот факт в общем случае не имеет места.
ПРИМЕР 3.3. Рассмотрим полугруппу S, состоящую из двух элементов {е, оо}, с соотношениями
оох = хоо = оо Ух £ 5.
Далее рассмотрим градуированное по полугруппе У кольцо R — Re ф Лоо, где
Ле = Тф R(XJ £ с, Ь , а Д _ это поле из двух элементов. При этом выполняются следующие соотношения в кольце Л:
( а2 = а,
I ь2 = ъ,
] аЬ — а,
I Ьа = Ь.