Гиперболические многогранники Кокстера

• Автор: Тумаркин, Павел Викторович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 118 с. : ил.

1. Многогранники

1. Основные определения и обозначения

2. Диаграммы Гейла

2.1. Диаграммы Гейла тг-мерных многогранников

сп + 2ип + 3 гипергранями

3. Многогранники Кокстера в Шп

3.1. Остроугольные многогранники в Шп

3.2. Схемы Кокстера

2. Неограниченные многогранники

с п + 2 гипергранями

1. Произведения двух симплексов

2. Пирамиды
3. Многогранники с п + 3 гипергранями
1. Неограниченные многогранники конечного объема
1.1. Отсутствие искомых многогранников в больших размерностях
1.2. Многогранники размерности 16 и
1.3. Пирамиды
2. Ограниченные многогранники с п + 3 гипергранями

4. Регулярные подалгебры гиперболических алгебр
Каца — Муди
1. Подсистемы корней и разбиения многогранников
2. Подсистемы корней полного ранга
2.1. Максимальные подгруппы
2.2. Немаксимальные подгруппы
2.3. Классификация подсистем корней полного ранга
3. Подсистемы корней коранга один
Литература

1. Пусть Хп — п-мериое евклидово пространство 1Еп, п-мерная сфера §п или п-мерное гиперболическое пространство Шп. Пусть Р € Хп — выпуклый многогранник, ограниченный гипергранями /1 г-ч/т- Многогранник Р называется многогранником Кокстера, если двугранный угол между любой парой смежных гиперграней и И /_,■ имеет вид где Шу > 2, ту € 2.
Пусть Гр — группа движений пространства Хп, порожденная отражениями Г1 гт относительно гиперграней /1 /т многогранника Р. Известно, что если Р — многогранник Кокстера, то группа Гр дискретна, и многогранник Р является ее фундаментальной областью. Иными словами, многогранники 7Р, 7 6 Гр, попарно не имеют общих внутренних точек и покрывают пространство Хп. При этом группа Гр задается следующими образующими и определяющими соотношениями:
(1) Гр =< гь ...,гт | г,- = (пъГ» = е >
Здесь ту = ту > 2, ту £ Ъ. Для несмежных граней /,• и ^ удобно считать, что ту = оо и что соотношение отсутствует.
Абстрактная группа с отмеченной системой образующих и определяющих соотношений вида (1) называется группой Кокстера. Как показано Титсом в [34], любая группа Кокстера с конечным числом образующих может быть представлена в виде группы проективных преобразований, порожденной отражениями и дискретно действующей в некоторой области проективного пространства. Мы ограничимся рассмотрением групп Кокстера, имеющих представление в пространстве постоянной кривизны 1Еп, §’* или 1Нп с фундаментальным многогранником конечного объема.
2. Классификация сферических и евклидовых многогранников Ко4) если = n{a.k+i-) = 0 (т.е. схема 5'i+i,fc+i—2 ланнеровская), то среди вершин a,-+i,a^+i-2 есть не более 5 вершин с ненулевыми весами.
5) если n(ai) = 0, а 1) > 0 (т.е. схема Si+i^+i-i квазилан-неровская), то среди вершин a;+i ak+i-2 есть не более 10 вершин с ненулевыми весами.
Все диаграммы Гейла, удовлетворяющие условиям 1) -5), перечислены в таблице 3.3.
Лемма 3.9. Пусть Р — многогранник Кокстера конечного объема в Шп, не являющийся пирамидой. Если п > 16, то S(P) совпадает со схемой, приведенной на рис. 3.1.
Доказательство. Занумеруем вершины в диаграммах Гейла по часовой стрелке, начиная с самой верхней. Рассмотрим каждую из диаграмм, перечисленных в табл. 3.3.
13*. Схемы S2,3 и Sjfi ланнеровские, т.е. порядки S2 и S$ не превышают 4. Схема 5зд квазиланнеровская, т.е. |Ss| < 9. Если |S(P)| > 19, то. IS2I = |Ss| = 4, а IS5I = 9. Поскольку в квазиланнеровских схемах порядка 10 и Ss^ есть ровно по одной параболической подсхеме, S(P) имеет вид