Гироскопическая стабилизация: случайная матрица гироскопических сил, оценки степени устойчивости

• Автор: Карапетян, Артем Александрович
• Шифр специальности: 01.01.05, 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 56 с. : ил.

Оглавление

Введение . . .

Глава 1. Условия гироскопической стабилизации при случайном выборе матрицы гироскопических сил.

1.1. Задача об устойчивости при больших гироскопических силах .

1.2. Случайная матрица гироскопических сил четырехмерный случай .

1.3. Применение 1еории истатистик

Глава 2. Степень устойчивости и гирос коническая габилизация

2.1. Степень устойчивости и индексы инерции . .

2.2. Сигнатуры частичных гамильтонианов, доказательство основной теоремы . .

2.3. Приложение к задаче гироскопической стабилизации . . .

2.4. О спектральных свойствах матриц некоторот специального вида . . .

Литература


Введение . Глава 1. Условия гироскопической стабилизации при случайном выборе матрицы гироскопических сил. Задача об устойчивости при больших гироскопических силах . Случайная матрица гироскопических сил; четырехмерный случай . Глава 2. Степень устойчивости и индексы инерции . Сигнатуры частичных гамильтонианов, доказательство основной теоремы . Приложение к задаче гироскопической стабилизации . О спектральных свойствах матриц некоторот специального вида . Литература . Е И", матрицы С) и /? С}1 = (}, 1 — Я), матрица <2 положиюльио определена, т с», скалярное произведение (С}х,х) неотрицательно для любого х Е Яп и обращается в нуль лишь при х = 0, мафица (? С1 = -С) Точка означает дифференцирование по времени пак что х скорость системы, а . В механике симметрическая матрица ф определяет инерционные свойства системы, более точно, квндратчпая форма по скоростям (1/2)(фг,а:) - кинетическая энергия системы. Симметрическая матрица Я задает потенциальную энергию (1/2)(Лх,. Сисіему (1) можно привести к более простому виду. Воспользуемся хорошо известным результатом из линейной алюбры, согласно которому найдемся матрица С іакая, чю ClQC = / (здесь / - единичная матрица п х п) Тогда ClGC = Г = — Г*, С1 НС = Р = Р*. QCz -f- GCz 4- НСх — 0. Помпожив слева на 0і и переобозначив 2 через . Px~ 0. Слагаемое — Гх называется гироскопической, а слагаемое -Рх -исмснциальной силой, действующей на рассмаїринаемую еис іему с п еіененями свободы. Важнейшее свойс іво гироскопических сил с остонт в том, что их наличие не влияет на сохранность полной энергии (т. Из уравнения движения (2) получаем (х, х) 4- (Гх, х) 4- (Рх, х) = 0 Заметим, что (х,х)* = 2(т,х), (Рх, г)* = 2(Рх,. Гіг,. P.r,x) = const. Пример (сила Лоренца). Е - напряженное 1ь электрического поля, Н - напряженность магнипюго ноля. Сила, действующая на частицу, называется слой Лоренца Считаем магнитное поле Н постоянным. Тогда, согласно уравнениям Максвелла получаем, что rotE = 0, и поэтому напряженное и» электрическою поля можно представить в виде Е = -gradip. Напомним, что решение х(1) = 0 линейной системы, называемое положением равновесия, устойчиво в юм и только том случае, если все его решения . Е<ли же найдется хотя бы одно неограниченное решение, 'ю положение равновесия будет неустойчивым. Критерий упойчивос і и Лаіранжа у'їверждает, чю положение равновесия сш юмы (4) ус юйчиво тогда и только тогда, когда квадратичная форма (1/2)(Рх‘,. Дос іагочное условие следует из вида интеграла энергии (3). Поэюму для ешлемы (2) справедливо следующее утверждение (достаточное условие устойчивости), если квадратичная скорма (1/2)(Рл,т) положительно определена, то решение х(? Эю утверждение можно понимать следующим образом.