Нелинейные преобразования и сходимость вероятностных распределений

• Автор: Колесников, Александр Викторович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 238 с.

Введение и краткое содержание диссертации

Глава 1. Нелинейные преобразования мер и геометрические

неравенства

1.1. Характеризация диффузионных полугрупп,

сохраняющих логарифмически вогнутые функции

1.2. Другие классы функций

1.3. Замечания о гауссовском корреляционном неравенстве

Глава 2. Треугольные преобразования мер

2.1. Свойства треугольных преобразований мер

2.2. Оценки энтропии плотностей Радона-Никодима

2.3. Применения треугольных преобразований и оценок для

энтропий
Глава 3. Оптимальные отображения
3.1. Конечномерные транспортные неравенства для выпуклых
мер
3.2. Бесконечномерные оптимальные отображения ИЗ
3.3. Бесконечномерное уравнение Монжа-Ампера
3.4. Интегрируемость оптимальных отображений
Глава 4. Сходимость Моско
4.1. Сходимость гильбертовых пространств
4.2. Условия компактности для сходимости Моско
4.3. Одномерный случай
4.4. Сходимость бесконечномерных форм Дирихле
4.5. Сходимость Моско и логарифмические производные
Литература

Введение и краткое содержание диссертации
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Нелинейные преобразования и различного рода сходимость вероятностных распределений являются важнейшими объектами изучения в большинстве задач теории вероятностей и теории случайных процессов. Эти объекты связывают теорию вероятностей с теорией меры, функциональным анализом, дифференциальными уравнениями и теорией экстремальных задач. Такие связи, возникшие более чем полвека назад в классических трудах А.Н. Колмогорова, А.Д. Александрова, H.H. Боголюбова, Н.М. Крылова, Дж. фон Неймана, JI.B. Канторовича, Ю.В. Прохорова, A.B. Скорохода и других исследователей, в настоящее время продолжают расширяться, обогащая взаимодействующие области математики. Особенно здесь можно отметить работы1’2’3,4’5’6. Подробный историко-библиографический обзор дан в книге7. В более позднее время существенный вклад в изучение всего комплекса проблем, связанных с нелинейными преобразованиями вероятностных распределений и сходимостью нелинейных образов мер, внесли В.Н. Судаков8, М. Талагран9, К. Ферник10, Я. Бренье и, Р. Маккэн12.
Основные результаты диссертации связаны с исследованием нелинейных преобразований вероятностных распределений, позволяющих меры
Александров А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел I—IV. Матем. сб., 1937, т. 2(44), в. 5, с. 947-972, в. 6, с. 1205-1238; 1938, т. 3(45), в. 1, с. 27-46, в. 2, с. 227-251.
Александров А.Д. О поверхностной функции выпуклого тела. Матем. сб., 1939, т. 6(48), в. 1, с. 167-174.
Александров А.Д. Существование и единственность выпуклой поверхности с заданной интегральной кривизной. ДАН СССР, 1942, в. 35, 131-134.
^Канторович JI.B. О перемещении масс. ДАН СССР, 1942, т. 37, в. 7-8, с. 227-229.
^Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, в. 2, с. 177-238.
^Скороход A.B. Предельные теоремы для случайных процессов. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, в. 3, с. 289-319.
'"Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 1,2. Москва - Ижевск, РХД, 2003

Судаков В.Н. Геометрические проблемы теории бесконечномерных вероятностных распределений. Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1976, т. 140, с. 1-190.
®Talagrand М. Transportation cost for Gaussian and other product measures. Geom. Fund. Anal., 1996, n. 6, p. 587-600.
^Fernique X. Extension du théorème de Cameron-Martin aux translations aléatoires. II. Intégrabilité des densités. Progr. Probab., v. 55, p. 95-102, Birkhäuser, Basel, 2003.
^Brenier Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector valued functions. Comm. Pure Appl. Math., 1991, v. 44, p. 375-417.
^“McCann R.J. Existence and uniqueness of monotone measure-preserving maps. Duke Math. J., 1995, v. 80, p. 309-323.
из заданных классов представлять в виде образов каких-либо простых мер (например, гауссовских), причем требуется, чтобы эти представления обладали некоторыми дополнительными свойствами. В качестве таких дополнительных свойств в диссертации выступают свойства инвариантности (преобразования, заданные диффузионными полугруппами), оптимальности (оптимальные отображения), а также некоторые специальные геометрические свойства (треугольные преобразования). Полученные результаты применяются к задачам теории вероятностей, бесконечномерного анализа, теории гауссовских мер, теории случайных процессов. Многие результаты диссертации тесно связаны с важными аналитическими неравенствами (логарифмическое неравенство Соболева и т.п.). Кроме того, в диссертации применяются методы слабой сходимости мер и вариационного исчисления к теории сходимости случайных процессов (сходимость Моско13).
В главе 1 рассмотрены преобразования мер, задаваемые стохастическими дифференциальными уравнениями. Этот вид преобразований в последнее время эффективно применяется для доказательства чисто аналитических неравенств. Здесь доказано, что свойство диффузионных полугрупп сохранять класс так называемых логарифмически вогнутых функций равносильно тому, что эти полугруппы имеют гауссовские переходные вероятности. Класс логарифмически вогнутых функций играет важную роль в бесконечномерном анализе, теории вероятностей, стохастике, теории гауссовских мер (см.14). Также изучен вопрос о сохране-ниии полугруппами так называемых функций Шермана, включающих все чётные логарифмически вогнутые функции. Мотивацией задачи послужила известная проблема, появившаяся на стыке теории гауссовских мер и теории выпуклых множеств, так называемое гауссовское корреляционное неравенство. Это неравенство — пока еще недоказанное в общем случае — состоит в том, что
(0.0.1) 7(АПВ) >7(Л)7(Б)
для произвольных выпуклых центрально-симметричных множеств А и В в R” и всякой центрированной гауссовской меры 7. Основной к настоящему моменту прогресс был достигнут в работах15’16,17. Наиболее плодотворными методами исследования этого неравенства являются метод полугрупп и метод оптимальных отображений мер. В диссертации обсуждается применение обоих методов и доказываются некоторые частные
^Mosco U. Composite media and Dirichlet forms. J. Funct. Anal., 199-1, v. 123, p. 368-421.
14Вогачев В.И. Гауссовские меры.Москва: Наука, 1997.
^Pitt L.D. A Gaussian correlation inequality for symmetric convex sets. Ann. Probab., 1977, p
474.
*®Schechtman G., Schlumprecht Т., Zinn J. On the Gaussian measure of the intersection of the symmetric, convex set. Ann. Probab., 1998, p. 346-357.
^7Harg6 G. A particular case of correlation inequality for the Gaussian measure. Ann. Probab., 1999, v. 27, p. 1939-1951.
Глава
Треугольные преобразования мер
Эта Глава IIосвящена изучению так называемых треугольных отображений, т.е. таких отображений Т = (Ti,... ,Тп): R" —> R”, что Т есть функция Х, Т2 - функция (х,Х2), Тз - функция (х, Х2, Хз) и т.д.: Ti является функцией от (xi, Х2, ■.., Xi). Аналогично определяются треугольные отображения в Ж00 - счетном произведении прямых. Треугольное отображение называется возрастающим, если каждая его компонента % является возрастающей по переменной Х{. Такая же терминология употребляется для отображений, заданных на подмножествах Ж71 или R00. Рассмотрение треугольных отображений весьма естественно в задачах теории вероятностей, связанных с преобразованиями последовательностей случайных величин. Выбор термина объясняется тем, что для дифференцируемого треугольного преобразования (например, линейного) матрица Якоби имеет треугольный вид. В работе [98] были построены треугольные преобразования равномерных распределений на выпуклых множествах (см. также [43]), а в работе [146] фактически установлено существование треугольного отображения Т стандартной гауссовской меры 7 на R” в произвольную абсолютно непрерывную вероятностную меру и = f • 7. Установленное с помощью такого преобразования неравенство Талаграна оценивает 12-норму разности Т — I через интеграл от / log / по мере 7, т.е. энтропию плотности Радона-Никодима. Установлено точное равенство для энтропии нелинейного образа меры, из которого непосредственно вытекает неравенство Талаграна. Найденное тождество используется при исследовании треугольных отображений.
Хорошо известно, что всякая радоновская вероятностная мера на метрическом пространстве является образом меры Лебега на отрезке (или любой другой безатомической вероятностной меры) при некотором бо-релевском отображении. Однако часто возникает задача о преобразовании одной заданной меры в другую с помощью отображений из более узких классов. Эта тематика, ставшая весьма популярной в последнее десятилетие, связана с целым рядом классических проблем из теории экстремальных задач, теории меры, нелинейного анализа и теории нелинейных уравнений с частными производными, в частности, с известной задачей Монжа-Канторовича о перемещении масс (см. следующую главу). Взаимодействие всех этих направлений привело не только к ярким результатам о преобразованиях мер, но и к открытию новых интересных связей между различными областями и неожиданным приложениям