Когомологические характеристики вещественных алгебраических многообразий

• Автор: Калинин, Игорь Олегович
• Шифр специальности: 01.01.04, 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 90 с.

Оглавление

Глава 1. Введение

1.1. Вычисление когомологий множества неподвижных точек

инволюции

1.2. Вычисление когомологий вещественных алгебраических

многообразий

Глава 2. Пространства с инволюцией

2.1. Фильтрации и спектральные последовательности

2.2. Спектральная последовательность инволюции

2.3. Произведения, граничный гомоморфизм, операции

Стинрода
2.4. Изоморфизм Тома
2.5. Двойственность
2.6. Эффективные пространства
2.7. Четные расслоения
2.8. Характеристический класс четных расслоений над
эффективными пространствами
Глава 3. Вычисление когомологи вещественных ачпгебраических
многообразий
3.1. Клеточные многообразия
3.2. Лефшецевы подмногообразия эффективных СМ
многообразий
3.3. Множество нулей общего сечения обильного расслоения
над эффективным СМмногообразием
3.4. Проективные полные пересечения, полные пересечения
клеточных многообразий
Литература


Первое серьезное продвижение в этом вопросе принадлежит П. А.Смиту [Яш]. Н^(Х,РХ) . И хотя последовательность Смита по настоящее время является важным средством для изучения инволюции, из-за трудностей с введением дополнительных структур и слабой функториальности (см. В работах [Вог|, [ВогбО] Бороль изобрел мощный метод для извлечения когомологической информации о действии компактной группы Ли на конечномерном клеточном пространстве, который даже для группы С2 оказывается довольно плодотворным. ЯХ X, является изоморфизмом для i > гг, где Хс2 — тотальное пространство расслоения над ЕР со слоем X, ассоциированного с универсальным расслоением группы С‘2. Когомологии пространства Хс2 вычисляются при помощи спектральной последовательности Серра, часто именуемой в этом контексте последовательностью Борсля-Серра. Серьезное удобство этого подхода по сравнению с точной последовательностью Смита состоит в том, что спектральная последовательность легко снабжается дополнительными структурами: умножением, когомологическими операциями. К числу минусов можно отнести плохую функториальность: а рпогу морфизм спектральных последовательностей индуцируется только эквивариантными отображениями и нужны определенные усилия, чтобы доказать, что, например, граничный гомоморфизм или трансфер индуцирует морфизм спектральных последовательностей. Спектральная последовательность инволюции. Х)} кольца когомологий множества неподвижных точек инволюции и изоморфизм между градуированным ^2-модулем, ассоциированным с фильтрацией, и предельным членом спектральной последовательности. Необходимо отметить, что спектральная последовательность Ъ-градуирована (а не ZxZ, как обычно), а фильтрация — не обязательно согласована со стандартной градуировкой Н*РХ. ТЕОРЕМА А. Пусть X — С2 - пространство. О = X) С Г0(Х) С . С Я(Х) С . Н*РХ — градуированная группа, ассоциированная с фильтрацией. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Спектральная последовательность, фильтрация и изоморфизм у? Фильтрация кольца когомологий H*(Xc2) часто использовалась в вычислениях, связанных со спектральной последовательностью Бореля-Серра (см. Bred], [Кг 1 ] ). Фильтрация Т* на гомологиях H*FX и изоморфизм между предельным членом спектральной последовательности и grjrH+FX были открыты О. Я.Виро геометрически до работы |Ка] и первоначально были связаны с точной последовательностью Смита. В работах |D], [DIKh], [DKh] спектральная последовательность инволюции называется спектральной последовательностью Калинина, фильтрация Р*(Х) — фильтрацией Калинина, изоморфизм обратный изоморфизму (р* — изоморфизмом Виро. Определение 1. Фупкторшлъпостъ спектральной последовательности инволюции. Первый член (когомологической) спектральной последовательности инволюции пространства с инволюцией совпадает с когомологиями самого пространства. В когомологиях и гомологиях есть большое количество гомоморфизмов, не индуцированных эквивариантными отображениями: когомологические операции, граничный гомоморфизм пары или тройки, изоморфизм Тома, изоморфизм двойственности и т. Р}, если определяют, и наконец, как связаны между собой соответствующие гомоморфизмы предельных членов спектральной последовательности и градуированных групп, присоединенных к фильтрации? Почти всегда легко установить, продолжается ли естественный гомоморфизм, заданный на когомологиях (или гомологиях), до морфизма спектральных последовательностей и определяет ли он гомоморфизм когомологий (гомологий) множества неподвижных точек. Трудная часть деятельности состоит в том, что для некоторых гомоморфизмов (8я‘, изоморфизм Тома, двойственность) соответствующий гомоморфизм множества, неподвижных точек "неправильный”, т. Тем не менее, в каждом важном случае находится необходимое "исправление" и "исправленный" гомоморфизм индуцирует на градуированной группе, ассоциированной с фильтрацией, гомоморфизм, совпадающий с гомоморфизмом предельных членов спектральных последовательностей (см. В, С). Необходимо отметить, что в п. С2-пространств, для которого есть универсальное “исправление” для всех разумных случаев. Пусть ?