Классификация уравнений Монжа-Ампера

• Автор: Кушнер, Алексей Гурьевич
• Шифр специальности: 01.01.04, 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 245 с. : ил.

Введение

0.1 Общая характеристика работы

0.1.1 Актуальность темы исследования

0.1.2 Цель работы .

0.1.3 Основные задачи исследования.

0.1.4 Научная новизна

0.1.5 Методы исследования

0.1.6 Теоретическое и прикладное значение

0.1.7 Апробация работы

0.1.8 Публикации автора по теме диссертации .

0.1.9 Структура диссертации

0.2 Обзор содержания диссертации.
1 Уравнения МонжаАмпера и ассоциированные с ними геометрические структуры
1.1 Операторы и уравнения МонжаАмпера
1.1.1 Нелинейные дифференциальные операторы
и эффективные дифференциальные формы
1.1.2 Неголономное поле эндоморфизмов .
1.1.3 Характеристические распределения.
1.1.4 Действие контактных диффеоморфизмов
на операторы и уравнения МонжаАмпера.
1.1.5 Многозначные решения уравнений МоижаАмпера
1.2 Дифференциальные тензорные инварианты структуры гкратного почти произведения
1.2.1 Алгебры, ассоциированные со структурой
гкратного почти произведения.
1.2.2 Тензорные инварианты структуры
гкратного почти произведения.
1.2.3 Дифференциальные 2формы, ассоциированные со
структурой гкратного почти произведения
1.2.4 Интегрируемость частичных сумм распределений
1.2.5 Комплексные структуры гкратного
почти произведения
1.2.6 Тензор Хаантпеса
2 Классификация гиперболических уравнений МошкаАмпера
2.1 Дифференциальные инварианты гиперболических уравнений . .
2.1.1 Дифференциальные тензорные инварианты гиперболических уравнений.
2.1.2 Координатные представления тензорных инвариантов . .
2.1.3 Формы Лапласа для гиперболических уравнений.
2.1.4 Координатные представления форм Лапласа.
2.2 Контактная линеаризация гиперболических уравнений.
2.2.1 Постановка задачи.
2.2.2 Уравнения, у которых обе формы Лапласа равны нулю .
2.2.3 Уравнения, у которых одна из форм Лапласа равна нулю, а другая нет.
2.2.4 Уравнения, у которых обе формы Лапласа не равны нулю
2.2.5 Примеры контактной линеаризации уравнений.
2.2.6 Скалярные дифференциальные инварианты
гиперболических уравнений
2.3 Нормальные формы гиперболических уравнений МопжаАмпера
2.3.1 Уравнение уху кхууи.
2.3.2 Телеграфное уравнение.
2.3.3 Уравнение ЭйлераПуассона
2.4 Контактная эквивалентность гиперболических уравнений МонжаАмпсра.
3 Классификация эллиптических уравнений МопжаАмпера
3.1 Дифференциальные инварианты эллиптических уравнений . . .
3.1.1 Тензорные инварианты эллиптических уравнений . . . .
3.1.2 Координатные представления тензорных инвариантов . .
3.1.3 Формы Лапласа для эллиптических уравнений.
3.1.4 Координатные представления форм Лапласа.
3.2 Контактная линеаризация эллиптических уравнений .
3.2.1 Уравнения, у которых обе формы Лапласа равны нулю .
3.2.2 Уравнения, у которых обе формы Лапласа не равны нулю
3.2.3 Скалярные дифференциальные инварианты эллиптических уравнений
3.3 Нормальные формы эллиптических уравнений МонжаАмиера .
3.3.1 Структура преобразований, сохраняющих вид уравнений
3.3.2 Уравнение ухх ууу кх, уу .х. у.
3.3.3 Уравнение Гельмгольца.
4 Классификация симилектических уравнений МонжаАмпера
4.1 Симплектические уравнения МонжаАмпера
4.1.1 Проекция 7г ТМ и симплектические эффективные формы
4.1.2 Поле эндоморфизмов Лш.
4.1.3 Многозначные решения, симметрии и симплектическая
эквивалентность операторов и уравнений
4.1.4 Тензорные инварианты симплектических уравнений . . .
4.1.5 Векторные инварианты симплектических уравнений . . .
4.2 Гиперболические уравнения.
4.2.1 Уравнения с интегрируемыми распределениями
4.2.2 Уравнения с неинтегрпруемыми распределениями
4.2.3 Уравнение ихх 2v 0.
4.3 Эллиптические уравнения.
4.3.1 Уравнения с интегрируемыми распределениями
4.3.2 Уравнения с неинтегрпруемыми распределениями
4.3.3 Уравнение ихх Ь 2v
4.4 Уравнения переменного типа
4.4.1 Классификация уравнений переменного тина
4.4.2 Уравнения МонжаАмпера переменного типа, приводящиеся к линейным уравнениям.
4.5 Классификация операторов МонжаАмпера переменного типа .
4.5.1 Абсолютный параллелизм
4.5.2 Нормальные формы
4.5.3 Уравнение потока многокомпонентной газовой смеси . .
Приложение 1. Алгебры Ли для операторов МонжаАмпера
Приложение 2. Программа для вычисления инвариантов
Лапласа на Мар1е
Список литературы


Г., Манжосова, . Контактные инварианты и линеаризация уравнения ХантераСакстона. Обозрение прикладной и промышленной математики 3, 67 . Кушнер, А. Г. Контактная линеаризация невырожденных уравнений МонжаАмпера. В сб. Кушнер, А. Г. Контактная геометрия уравнений МонжаАмпера и структура почти произведений. Труды участников Международной школысеминара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, АбрауДюрсо, 5 сентября г. Кушнер, А. Г. ЛРструктуры и тензор Хаантиеса. Лаптевские чтения, Сб. Международного геометрического семинара им. Г. Ф. Лаптева. Кушнер, А. Г. Гиперболические уравнения МонжаАмпера проблема Софуса Ли контактной линеаризации. Кушнер, А. Г. Геометрия нелинейных дифференциальных уравнений и проблема Софуса Ли. Труды конференции Качественная теория дифференциальных уравнений и ее приложения, Рязань, РГПУ, июня, , . Кушнер, А. Г. Гиперболические уравнения МонжаАмпера проблема контактной эквивалентности. Кушнер, А. Г. Тензорные инварианты гиперболических уравнений МонжаАмпера. Кушнер, А. Г. Контактная линеаризация нелинейных уравнений в частных производных. Труды Международной конференции Устойчивость и колебания нелинейных систем управления, Москва, ИПУ, мая 2 июня г. Л.О. В работах, выполненных в соавторстве, вклад автора составляет от до . Диссертация изложена на 5 страницах, состоит из введения, четырех глав, двух приложений и списка литературы, содержащего 1 наименование. Диссертация содержит таблиц, 2 диаграммы и 2 рисунка. Нумерация параграфов производится двумя символами, а нумерация пунктов и подпунктов тремя и четырьмя соответственно. Например, номером 3. Нумерация рисунков, диаграмм, таблиц и теорем в тексте диссертации сквозная, а нумерация формул в каждой главе своя. Во введении дается общая характеристика работы, формулируются основные результаты и приводится краткий исторический обзор результатов по классификации уравнений МонжаАмпера. В первой главе Уравнения Мо жа Ампера и ассоциированные с ними геометрические структуры вводятся основные понятия, используемые в диссертационной работе. Кроме того, в ней разрабатывается математический аппарат для построения тензорных дифференциальных инвариантов структуры, обобщающей структуру почти произведения и почти комплексным структуру. Такую структуру мы называем структурой ткратного почти произведения. Остановимся более подробно на содержании первой главы. В п. Операторы и уравнения МонжаАмпера мы описываем подход Лычагина , к уравнениям МонжаАмпера и приводим необходимые нам в дальнейшем определения и результаты. Пусть М 2мерное гладкое многообразие п ,7 М пространство 1джетов гладких функций на М. Д. Идд. Здесь v С . М график 1джета функции и и ИлиМ ограничение дифференциальной формы ш на этот график. Оператор Ли, называется оператором МонжаАмпера, а соответствующее уравнение Еы Ли, 0 уравнением, МопэсаАмпера. Подпространство С а касательного пространства называется подпространством Картана 3, 1. Диффеоморфизм ф ЯМ ЯМ называется контактным, если он сохраняет распределение Картана. Соответственно, векторное поле X на называется контактным, если x X для некоторой функции Л 3. Здесь x производная Ли от Ы вдоль векторного поля X. Контактные векторные поля однозначно определяются функцией X, которая называется производящей функцией контактного векторного ноля X X. Г где I С Тм
во внешней алгебре ГГ ЯМ. Элементы фактормодуля Г ЯМ 2 называются эффективными 2формами . Пусть и дифференциальная 2форма на . Пусть Х контактное векторное ноле с производящей функцией 1. В каждой точке а ЯМ касательное пространство распадается в прямую сумму Х1м С а. Это разложение позволяет отождествить эффективные формы с дифференциальными формами на . Таким образом, вместо уравнений МонжаАмпера 1 мы можем рассматривать дифференциальные 2формы. Пусть ф контактный диффеоморфизм на . I2 ь фси I2. ФЕ Еф. Шг и фДш Аф. Ыс. Ограничение дифференциала формы Картана на подпространство Картана С а невырождено и определяет на нем симллектическую структуру . ЛХ П X , X С.