Использование дифференциальных инвариантов в классификационных задачах алгебры

• Автор: Бибиков, Павел Витальевич
• Шифр специальности: 01.01.02, 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 130 с. : ил.

Оглавление
Введение

0.1. Общая характеристика работы

0.1.1. Актуальность темы исследования .

0.1.2. Цель работы

0.1.3. Основные задами исследования

0.1.4. Научная новизна.

0.1.5. Методы исследования.

0.1.0. Теоретическое и прикладное значение.

0.1.7. Апробация работы

0.1.8. Публикации автора по теме диссертации

0.1.9. Структура диссертации.
0.2. Обзор содержания диссертации.
1 Исторический обзор и необходимые сведения
1.1. Исторический обзор
1.1.1. Постановка задачи
1.1.2. Классический подход алгебраическая геометрия 4 теория инвариантов .
1.1.3. Известные результаты.
1.1.4. Возможные применения.
1.2. Необходимые сведения из геометрии дифференциальных уравнений .
1.2.1. Основная идея иного подхода
ЗГ
1.2.2. Дифференциальные уравнения и их решения
1.2.3. Распределения
1.2.4. Теорема Фробепиуса.
1.2.5. Симметрии дифференциальных уравнений.
1.2.6. Продолжения дифференциальных уранпений.
1.2.7. Дифференциальные инварианты
1.2.8. Инвариантные дифферепциропаттия
12.0. Теорема ЛиТрессе
2 Классификация орбит бинарных форм
2.1. Классификация орбит гладких функций.
2.1.1. Описание алгебры дифференциальных инвариантов . . .
2.1.2. Классификационная теорема
2.1.3. Орбиты группы Б1,2.
2.2. ОЬ2Сорбиты бинарных форм .
2.2.1. Ураппеиие Эйлера.
2.2.2. Алгебра ипиариаитоп .
2.2.3. Классификационная теорема
2.2.4. Примеры .
2.3. Обобщения.
2.3.1. Рациональные формы.
2.3.2. Действие ЗЬ2С.
2.3.3. Случай К.
2.3.4. Однородные функции.
2.4. Приложения
2.4.1. Нахождение полиномиальных инвариантов
2.4.2. Орбиты проективной группы па СР1
3 Классификация орбит тернарных форм
3.1. Поле инвариантов
3.1.1. Уравнение Эйлера
3.1.2. Инвариантные сформы.
3.1.3. Построение инвариантов и инвариантных дифференцирований
3.1.4. Описание поля инвариантов.
3.2. Классификация регулярных тернарных форм
3.2.1. Многочлены зависимостей и поверхность Е
3.2.2. Классификационная теорема.
3.2.3. Примеры
3.3. Классификация сингулярных тернарных форм
3.3.1. Случай гк2 2
3.3.2. Случай гкС2 1.
3.4. Метрическая классификация тернарных форм
3.4.1. Алгебра инвариантов .
3.4.2. Классификационная теорема
3.5. Обобщения и приложения
3.5.1. Однородные функции от трех переменных
3.5.2. Действие группы ЗЬзС.
3.5.3. Случай поля К вещественных чисел.
3.5.4. Классификация кривых и поверхностей
Приложение 1. Программы для бинарных форм
1. Программа для нахождения сизигии .
2. Программа для нахождения сингулярных форм
3. Программа для разделения орбит бинарных форм .
Приложение 2. Программа для тернарных форм .
Список литературы


В том же году им была решена проблема классификации орбит тернарных форм. В настоящей диссертационной работе рассматриваются классические задачи ОБ- и БЬ— классификации бинарных и тернарных форм над полями С и К. Также рассматриваются различные вопросы, связанные с этими проблемами. Среди этих вопросов отмстим классификацию рациональных форм, БОз-классификацию тернарных форм и проективную классификацию неприводимых алгебраических кривых. Найти алгебры дифференциальных инвариантов действия групп СЬ> и БЬ2 па пространстве бесконечных джстов У(2). В терминах построенных алгебр найти необходимое и достаточное условие локальной СЬ2- и БЬг-экпивалеитпости гладких функций на плоскости. Явно найти алгебры дифференциальных инвариантов действия групп СЬ и БЬ па пространствах бинарных и тернарных форм. В терминах найденных алгебр инвариантов найти критерий глобальной вЬ- и БЬ-эквивалептпоети бинарных и тернарных форм. Явно найти алгебру дифференциальных инвариантов действия группы БОз па пространстве тернарных форм и в терминах этой алгебры найти критерий глобальной БОз-эквивалентности тернарных форм. Все результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми. На защиту выносятся следующие результаті»! Для действия групп ОЬ> и БЬ> па пространстве бесконечных джетов «7°°(2) найдены алгебры дифференциальных инвариантов. А именно, указаны базисные дифференциальные инварианты, инвариантные дифференцирования и сизигии. В терминах найденных алгебр дифференциальных инвариантов найдені»! СЬ2 и БЬо-эквипалепттюсти регулярных гладких функций от двух переменных. Для действия групп СЬ2 и БЬ> на двумерном дифференциальном уравнении Эйлера х/х 4- у/у = 7і/ найдены алгебры дифференциальных инвариантов. В терминах найденных алгебр дифференциальных инвариантов найдены условия глобальной вЬ 2 и БЬг-эк ви валентности бинарных форм над полями С и Е. Для действия групп СЬз, ЭЬз и БОз тта трехмерном дифференциальном уравнении Эйлера х/х+у/у+г/2 = п/ найдеш»! В терминах найденных полей дифференциальных инвариантов найдены условия глобальной СЬз-, ЭЬз- и БОз-эквивалеитности тернарных форм над полями С и М. Для решения поставленных задач мы применяем методы современной дифференциальной геометрии, дифференциальных уравнений, алгебраической геометрии и классической теории инвариантов. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут быть использованы для изучения других действий алгебраических групп на аффинных многообразиях, а также для изучения различных проблем, связанных с классификацией орбит бинарных и тернарных форм. В диссертационной работе приведены примеры применения полученных результатов к классификации алгебраических проективных кривых, однородных функций, а также к нахождению полиномиальных инвариантов бинарных и тернарных форм. На основе этих результатов составлены спецкурсы для студентов и аспирантов, которые читаются в Институте проблем управления РАН. Группы Ли и теория инвариантов” иод руководством профессора Э. Б. Випберга и профессора А. Л. Опищика (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, апрель г. И. С. Красильщика (Москва, Независимый московский университет, май, декабрь г. Международной конференции «Геометрия в Одессе» (Одесса, Украина, - мая г. Международной конференции «Метрическая геометрия поверх поспей и многогранников», посвященной 0-летию со дня рождения Н. В. Ефимова (Москва, Россия, - августа г. Международной конференции «Геометрия в Кисловодске» (Кисловодск, Россия, — сентября г. IX Всероссийской молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, Россия, 1-G октября г. Второй Российской школе-конференции для молодых ученых с международным участием «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Тверь, Россия, 8- декабря г. МИАН “Геометрия, топология и математическая физика” под руководством академика РАН С. П. Новикова и член-корреспондента РАН В. М. Бухштабера (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, апрель г. Fia XVIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, Россия, - апреля г.