Топологически транзитивные косые произведения на клетках в Rn (n≥2)

• Автор: Фильченков, Андрей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 101 с. : ил.

Содержание
Введение
I. Топологически транзитивные косые произведения с инвариантной границей относительно отображений в слоях

1. Топологическая транзитивность и равномерная

аппроксимируемость фазового пространства периодическими орбитами

2. Общие свойства факторотображения и отобра-

жений в слоях, вытекающие из топологической транзитивности косого произведения

3. Критерий топологической транзитивности косых произведений из класса ТД/П)

3.1. Необходимые сведения из одномерной

динамики

3.2. Специальные свойства отображений в

слоях
3.3. Доказательство теорем 1 и
II. Топологически транзитивные косые произведения с неинвариантной границей относительно отображений
в слоях
1. Вспомогательные утверждения
2. Доказательство теоремы

3. Ещё об одном типе топологической транзитивности
III. Транзитивные аттракторы, являющиеся п-мерными
клетками
1. Пример косого произведения с аттрактором из
класса Т„(7П), п >
2. Пример косого произведения с аттрактором из
класса Т%[Р), п >
Литература

Введение
Исторически первыми примерами дискретных динамических систем класса косых произведений являются цилиндрические каскады. Цилиндрический каскад, т.е. дискретная динамическая система, заданная на цилиндре 51 х 1 с координатами х € 51 и у е К (й11 — окружность, К — прямая), получающаяся итерированием отображения Т(х, у) — {х + а,у + /(#)), а — иррациональное число, впервые возникает в мемуарах по качественной теории дифференциальных уравнений А. Пуанкаре [1]. В указанной работе формулируется задача исследования и-предельных множеств траекторий цилиндрического каскада с использованием множества точек пересечения траекторий с образующией цилиндра ад х К при любом ад € 51. Одна из трёх высказанных в [1] гипотез связана с реализуемостью транзитивного случая, то есть с возможностью существования точек с плотными на всём цилиндре траекториями. Транзитивные траектории занимают большое место в исследованиях Дж. Биркгофа [2].
Первыми примерами топологически транзитивных цилиндрических каскадов являются примеры Л. Г. Шнирельмана [3] и А. С. Бе-зиковича [4].
В работе [5] приводится, по-видимому, первое общее построение косых произведений (с мерой), хотя термин «косое произведение» введён позже, в работе [6].
Изучению топологически транзитивных цилиндрических каскадов и доказательству теорем существования топологически транзитивных гомеоморфизмов и диффеоморфизмов произвольного класса гладкости с различными фазовыми пространствами посвящены работы Е. А. Сидорова [7], [8], [9].
Свойство топологической транзитивности цилиндрического каскада Т(х,у) тесно связано (см. [10]) с решением пятой проблемы Гильберта: «Существуют вполне аналитические функциональные

неустойчивые многообразия равны всему отрезку Д, т.е. любая ^-периодическая точка удовлетворяет условию (СЛ).
Предположим противное. Пусть (хь^г) Е Рег(Р), Х Е Рег(Д) периода к такая, что №+(хх, /Д ф Д. Положим ИДДдДД = J, где J — вполне инвариантный относительно /* интервал отличный ОТ Д. Очевидно, ЧТО J не содержит точку х*. Пусть ОгЬ/1(7) = ^ и Л ("О и • • • и — вполне инвариантное относительно отоб-
ражения Д множество. Множество ОгЬ/1(7) не содежит точку х, следовательно, существует правосторонняя окрестность V+ (.Д) такая, что и+ (х{) ПОгб/ДТ) = 0. Кроме того, в силу условия (СЛ), существует 5 € N такое, что }'хи+ (х) = Д. Значит, в 1/+ (ж|) существует некоторый прообраз отрезка J. Обозначим его через J- С и+ (.т*). Тогда существует jo Е N такое, что при любом j > jo Д (7_) е ОгЬ/!( Возьмём два произвольных открытых множества V, V С Д. В 17 возьмём произвольно периодическую точку ж®. Пусть к — её период. Тогда, какую бы правостороннюю окрестность и+{хх) С V мы ни взяли, в силу условия (С.4) и предыдущих рассуждений существует натуральное число й такое, что /Д (17+(хх)) = Д Э V. Последнее в силу предложения 0.2 означает, что отображение Д топологически транзитивно.
Из топологической транзитивности отображения Д и плотности на Д множества его периодических точек следует возможность ап-