Функциональные вольтерровы уравнения в математической теории оптимального управления распредельными системами

• Автор: Сумин, Владимир Иосифович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 346 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
§ 1. Обозначения, сокращения, нумерация
§2. Общая характеристика диссертации
§3. Краткий обзор содержания диссертации
§4. Основные результаты диссертации
Г л а в а 1. Вольтерровы операторы в пространствах измеримых
фупкггий
§1. Операторы, вольтерровы на системах множеств
1. Операторный класс V(T) (46). 2. Простейшие свойства (47). 3. Интегральные операторы в лебеговых пространствах (50). 4. Один признак квазинильпотентности интегральных операторов (51). 5. Вольтерров-ские 6-цепочки (54). 6. Случай пространств типа . Специальные операторные классы (57). 7. Случай пространств типа Ьж. Примеры (60).
§2. Вольтерровость и признаки квазинильпотентности функциональных
операторов
1. Результаты П.П.Забрейко (64). 2. Формула для спектрального радиуса и цепочечный признак квазинильпотентности функциональных операторов (66). 3. Вольтерровские множества функциональных операторов. Вольтерровские 6-сети (68). 4. Конкретные признаки кваг-зинильпотентности функциональных операторов (68). 5. Вывод формулы для спектрального радиуса (69). 6. Доказательство теоремы о 6-сетях и 6-цепочках (71). 7. Доказательства конкретных признаков кваг-зинильпотентности (74). 8. Операции над квазинильлотентными операторами (74). 9. Полные системы вольтерровских цепочек (76). 10. Случай лебеговых пространств. Примеры ( 78).
§3. Семейства квазинильпотентных операторов
1. Функциональные уравнения и принцип сжимающих отображений (81). 2. Равностепенно квазинильпотентные семейства операторов и теорема об эквивалентной норме (83). 3. Признак равностепенной ква-зинильпотентноети семейства интегральных оцераторов(85). 4. Общий цепочечный признак равностепенной квазинильпотентности семейства функциональных операторов (87). 5. Случай лебеговых пространств. Примеры (90).

Г л а в а 2. Управляемые функциональные вольхерровы уравнения в лебеговых пространствах
§1. Специальные функциональные водьтерровы уравнения в пространствах Ьр<т (1 < р < оо)
1. Предположения (93). 2. Некоторые обозначения (94). 3. Предположения. Свойства мажоранты (94). 4. Локальные решения (97). 5. Теорема у.с.г.р. (99). 6. Оценка разности решений (102) 7. Задача продолжения решений. Предварительная оценка (103). 8. Лемма о продолжении решений (107). 9. Доказательство теоремы у.с.г.р. (108).
§2. Предельные значения индексов суммируемости
1. Случай, когда бесконечен один индекс суммируемости (111). 2. Липшицев случай (118). 3. Случай, когда бесконечны оба индекса суммируемости (120).
§3. Некоторые варианты теоремы у.с.г.р
1. Случай существования вольтерровскоЙ цепочки со свойствами непрерывности (122). 2. Анализ доказательства теоремы у.с.г.р. (124). 3. Случай компактного оператора (125). 4. Более грубая мера отклонения возмущенного управления (126). 5. Уравнения с параметрами (128)
6. Снятие условия регулярности (129). 7. Случай многокомпонентного оператора (133). 8. Случай оператора, определенного на подпространстве (134).
Г л а в а 3. Управляемые функциональные вольхерровы уравнения
в пространствах существенно ограниченных функций
§1. Специальные функциональные вольхерровы уравнения с управляемым оператором в пространствах Аоо.т
1. Уравнения вида (*) с управляемым оператором (135). 2. Локальные решения (137). 3. Продолжение решений (138). 4. Лемма об оценке разности решений (140). 5. Лемма о продолжении решений (141 ). б. Достаточные условия у.с.г.р. (по возмущению управляющей функции и оператора) (141).
§2. Доказательства основных утверждений §1
1. Доказательство теоремы единственности (143). 2. Доказательство локальной теоремы существования (143). 3. Доказательство леммы об оценке (144). 4. Доказательство леммы о продолжении (145). 5. Доказательство теоремы у.с.г.р. (147).
§3. Ослабление требований к операторам
1. Формулировки (148). 2. Доказательства (150). 3. Следствия теоремы у.с.г.р. (150).

§4. Общие функциональные вольтерровы уравнения второго рода в пространствах LoO'm
1. Операторный класс ,Д(П,-V) (152). 2. Локальные теоремы (152). 3. Теорема у.с.г.р. (153). 4. Задача продолжения решений (153). 5. Лемма об оценке разности решений (154). 6. Лемма о продолжении решений (155). 7. Доказательства локальных теорем (157). 8. Доказательство
теоремы у.с.г.р (157). 9. Следствия теоремы у.с.г.р. (158).
Г л а в а 4. Обращение главной части в управляемых начальнокраевых задачах
§1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1. Задача Коши для нормальной системы первого порядка (163). 2. Двухточечная краевая задача для уравнения второго порядка (164).
§2. Дифференциальные уравнения с запаздыванием
1. Сосредоточенные запаздывания (170). 2. Распределенные запаздывания (171).
§3. Гиперболические уравнения первого порядка
1. Задача Конга для одного уравнения (171). 2. Задача Коши для системы (174). 3. Скрещение задач Кожи (175).
§4. Гиперболические уравнения второго порядка (случай двух независимых переменных)
1. Задача Гурса-Дарбу (176). 2. Задача Коши для полулинейного уравнения с волновым оператором в главной части (178). 3. Смешанная задача, управляемый параметр волнового оператора (180). 4. Смешанная задача, граничное управление (182). 5. Смешанная задача в случае, когда правая часть уравнения зависит от производных (183).
§ 5. Гиперболические уравнения второго порядка (случай многих независи-
мых переменных)
1. Предварительные сведения (184). 2. Смешанная задача для полулинейного гиперболического уравнения (185). 3. Случай, когда правая часть уравнения зависит от производных (188).
§ 6. Параболические уравнения
1. Функциональные пространства (188). 2. Смешанная задача для полулинейного параболического уравнения (189). 3. Вспомогательные предложения (198). 4. Случай управляемых коэффициентов главной части (199). 5. Случай измеримых коэффициентов главной части (199). 6. Случай, когда правая часть уравнения зависит от производных (201).
7. Квадратично суммируемые управления (202).

ограниченных функций. В §5.1 доказана общая теорема 5.1.2 о дифференцируемости функционалов, связанных с ф.в.у. типа (*), в пространствах типа В п.5.1.9 приводятся иллюстрирующие ее конкретные примеры.
Рассмотрим управляемую систему (*) (1 < р < 2 ,р< д < оо) над пространством Ьр,т, считая, что множество допустимых управлений V совпадает с Ха,,. Введем следующие условия Кю) - К12).
Км) Функция /(4, р, V) дифференцируема по {р, V} на В/ х И* при п.в. 4 е П и вместе с производными /р, /у измерима по 4 на П V {р, V} € И' х К*, а также непрерывна по {р, V} на В.1 х Й* для п.в. 4 € П.
Кп) Для любого о(.) е Ьг,. формула Л(*)&!(<) = /р(*>У(*)>Ч0)> < € П, определяет непрерывный оператор /*(»)[.) : X,,/ Хг,тх/-
Км) Для любого у(.) е 1>ч} формула /з(у)(«](4) = Д(4,у(4),«(4)), 4 6 П, опре-
деляет непрерывный и ограниченный оператор /з(у)|.): Х,, -» Xъ таХ<-
При переходе к описанию оптимизационных задач в терминах ф.в.у. (*) функционалы задач часто приводятся к виду
«6 П(П), (19)
где Х[.,.): Х9>/ х Ха,-, й - функционал, дифференцируемый по Фреше над X, /х Х?
Пусть {<т(у, v](t), г[у, о](4)} ё Хх Ха,,- есть его производная Фреше в точке {у, V} е Х,,г х Ха,,, (д/)~1 + д~г — 1. Из теоремы 2.1.4 и следствия 2.3.4 вытекает
Теорема 5.1.4. Пусть выполняются условия Ка), Км) - К12), а также либо условия К3), а) - в), либо условия К), к) вместе с условием (3) для оператора А. Тогда в любой точке «о е О (П) функционал X имеет производную Фреше Х'(с0)[.} е (Ха,,)*, которая отождествляется с принадлежащей Ха,, функцией г (Л[го], о0] (4) + {/у (4,Л{2о](4),и0(4))}*(4), 4 е П, где - единственное в Х,т, (р')-1 + р-1 = 1,
решение уравнения
т - А' [{/р (.,4М(0.<*())}’ (0 = Л* ИЫ, 00)1(4), 4 6 П. (20)
Теорема 5.1.4 находит применение в проблеме сингулярности распределенных управляемых систем, которой посвящен §5.2. Ж.-Л.Лионсом в [86] сингулярными названы управляемые системы, "уравнения состояния которых ... представляют "особенности”, а именно: неустойчивость, явление разрыва, кратные решения и явления бифуркации”. Им подробно изучается вопрос о получении н.у.о. для систем с разрывом, описываемых н.к.з для параболических и гиперболических уравнений; системами с разрывом названы управляемые н.к.з., для которых имеет место упомянутая выше сингулярная ситуация, связанная с отсутствием у.с.г.р. управляемой