Устранимые особенности решений эллиптических уравнений

• Автор: Покровский, Андрей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01, 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 178 с.

Введение
1 Устранимые особенности обобщенных решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка в дивергентной форме

1.1 Вспомогательные результаты

1.2 Устранимые особенности обобщенных решений уравнений с ограниченными и измеримыми действительными коэффициентами в классах функций с первыми обобщенными производными.
1.3 Устранимые особенности обобщенных решений уравнений с непрерывными коэффициентами в классах Гельдера.
1.4 гармоническая мера и функция Грина для линейного равномерно эллиптического оператора второго порядка в дивергентной форме
1.5 Устранимые особенности обобщенных решений уравнений с измеримыми и ограниченными коэффициентами в классах непрерывных функций .
1.6 Эквивалентное определение обобщенных решений уравнений с измеримыми ограниченными коэффициентами

1.7 Связь между классами См и иа0ос

2 Устранимые особенности решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка в недивергентной форме

2.1 Определения и предварительные сведения

2.2 Устранимые особенности слабых решений уравнений с ограниченными и измеримыми действительными коэффициентами.
2.3 Доказательство теоремы 2.1.
2.4 Устранимые особенности слабых решений уравнений с измеримыми и ограниченными коэффициентами в классах ГельдераЗигмунда
2.5 Эквивалентное определение слабых решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка в недивергентной форме
2.6 Устранимые особенности слабых решений уравнений с коэффициентами, непрерывными по Дини
3 Устранимые особенности решений квазилинейных
эллиптических уравнений второго порядка
3.1 Формулировки теорем об устранимых особенностях ргармонических функций
3.2 Вспомогательные результаты о ргармонических функциях
3.3 Доказательство теоремы 3.
3.4 Доказательство теоремы 3.
3.5 Устранимые особенности решений уравнения минимальных поверхностей в классах С1,а
3.6 Обобщение теоремы об устранимых особенностях решений уравнения минимальных поверхностей
в классах С1,а
4 Устранимые особенности слабых решений линейных дифференциальных уравнений с гладкими коэффициентами
Литература


П. Долженко об устранимых особенностях голоморфных функций справедлив и при а 1 достаточность условия теъЕ 0 была доказана для этого случая в 7, а необходимость установлена в г. Н. X. Уи 5,6 более простое доказательство было предложено позднее С. В. Хрущевым , см. В классе Зигмунда подобная характеризация уже невозможна как показали X. Кармона и Х. ТС, при этом существует неустранимый компакт К с тдК оо и устранимый Кч с тедК2 оо для голоморфных функций в классе ЕС. Результаты типа теоремы Долженко имеют место и для гармонических функций. Ла1ос, 0 а 2, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие теп2аЕ 0. Для случая а Е 0, 1 этот результат был получен Л. Карлесоном , . Е 1, 2 Е. П.Долженко 8, 9, случай о 1 рассмотрен Д. Матеу и Д. Оробичем и независимо Д. Ульрихом 4. X. Вердера 7 показал, что условие теБпЕ 0 характеризует устранимость множества Е для гармонических функций в классе С1С ,ос. Важную юль в развитии результатов Е. II. Должепко и Л. Карлесоиа сыграла работа Р. Харви и Дж. Полкипга , посвященная устранимым особенностям слабых решений линейного дифференциального уравнения Р 0 порядка т, коэффициенты которого т раз непрерывно дифференцируемы в области О С К7. В этой работе было показано, что равенство тезпткаЕ о является достаточным условием устранимости множества Е С О для слабых решений уравнения Р 0 в классе СДС, где к Е Мо, а Е 0, 1, 0 п т к Ь а п. Р. Харви и Дж. Полкинг рассмотрели также устранимые множества для слабых решений уравнения Р 0 в классе Соболева И7рй при к Е М0, 1 р оо, 0 п дт к п, где д рр 1, Ьр0. Е оо обеспечивает устранимость множества Е для оператора Лапласа Д и к 0 это было доказано ранее Л. Карлесоном . Результаты Р. Харви и Дж. Й. Крал , охарактеризовал устранимые особенности решений полуэллиптических уравнений с постоянными коэффициентами в специальных анизотропных классах типа Кампаиато. С другой стороны, И. Ю. Чесноков рассмотрел линейный оператор Р с достаточно гладкими коэффициентами, порядок которого по какойто группе переменных меньше его порядка по всем переменным, и в терминах равенства нулю хаусдорфовой меры проекции особого множества на одну из координатных гиперплоскостей обобщил приведенную выше теорему Р. Харви и Дж. Полкинга об устранимых особенностях слабых решений уравнения Р 0 в классах Гельдера. В г. Р. Кауфман и Дж. М.Ву получили достаточное условие голоморфности локально суммируемой функции в комплексной области в терминах ее локальных приближений в среднем голоморфными функциями. Б. Ж. Ищановым этот результат был распространен на случай слабых решений линейных уравнений с гладкими коэффициентами. В дальнейшем, в терминах локальных приближений в среднем решениями соответствующего уравнения Б. Ж.Ищаиов 3 выделил классы функций, в которых устранимость множества для полианалитических и полигармонических функций характеризуются условием равенства нулю его хаусдорфовой меры относительно произвольно заданной измеряющей функции. В качестве его следствия установлено, что для однородного эллиптического оператора Р порядка га с постоянными коэффициентами в М условие тезп тУ Е 0 характеризует устранимость множества Е в области С Мп для решений уравнения Р 0 в классе ГельдераЗигмунда ЛаСос, где показатель гладкости а 0 удовлетворяет двойному неравенству 0 п т а п. Остановимся теперь на развитии результатов В. С. Федорова и Т. Радо. В г. Й.Крал 1 доказал, что любая непрерывно дифференцируемая функция в области О С Кп, п 2, равная нулю на замкнутом множестве С Си гармоническая в Е является гармонической в С. В работе он распространил этот результат на решения линейных эллиптических уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. И.Ю. Чесноков обобщил сформулированную теорему Крала на полигармонические функции порядка к в классе С21 б к К. В работе результаты Крала распространены на широкий класс квазилинейных эллиптических и параболических уравнений второго порядка, включающий рассматриваемое ниже уравнение Фу7р27 0 и уравнение минимальных поверхностей. С другой стороны, Б.